Оценим  точность и адекватность полученной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,995.

Коэффициент корреляции: r_ху = 0,997.

Остаточная  сумма квадратов: С = 147,69

    На  основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F =

F = = 945

получили  F >  F_табл= 3,10 для a = 0,05; m₁ = m = 3, m₂ = n – m – 1 = 20.

Поскольку F_рас > F_табл, уравнение множественной регрессии следует признать значимым.

    Экономическая интерпретация параметров модели.

    b₁ = 0,51, значит при увеличении только денежных доходов населения на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,51 млрд. руб.

    b₂ = 1,06, значит при увеличении только доли доходов, используемых на покупку товаров и услуг, на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 1,06 млрд. руб.

    b₄ = 0,9, значит при увеличении только официального курса рубля по отношению к доллару на 1 руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,9 млрд. руб.

    Рассчитаем  частные коэффициенты эластичности:

              _

             Х₁                  185,81

Э₁ = b₁ — = 0,51 * ———— = 0,83

            Y                    114,3

              _

             Х₂                79,49

Э₂ = b₂ — = 1,06 * ——— = 0,74

           Y                 114,3

              _

             Х₄               17,39

Э₄ = b₄ — = 0,9 * ——— = 0,14

            Y               114,3

     Они показывают, на сколько процентов  изменяется зависимая переменная Y при изменении фактора Х_i на один процент.

     3. Применим тест Голдфельда-Квандта для проверки гомоскедастичности остатков в полученной модели.

    Упорядочим  наблюдения  в порядке возрастания  переменной Х₁ и, исключив из рассмотрения 6 центральных наблюдения, разделим совокупность из оставшихся 18 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х₁). Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

     Проверка  линейной регрессии на гомоскедастичность.

     Таблица № 7

    Получаем  R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R  больше табличного значения                     F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е.  не подтверждается гомоскедастичность остатков.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков  помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную  таблицу:

Таблица №8

     При проверке независимости уровней  ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической  составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

.

d = 1,198959

     По  таблице критических точек распределения  Дарбина–Уотсона для заданного  уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

     В нашем случае модель содержит 3 объясняющие  переменные (m=3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,10 и d_в = 1,66.

     Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

5. Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

     Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном  смысле применим тест Чоу.

    Разделим  совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

    Таблица №9

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

    Остаточная  сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число степеней свободы составит 16

Остаточная  сумма квадратов единого уравнения  тренда: С = 147,69

    Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

    Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определим фактическое  значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас = = = 11,0

     Получили F_рас >  F_табл = 3,01      значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не  принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2.

    Модель  макроэкономической производственной функции описывается следующим  уравнением:

                                lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε ,               R² = 0,875.

           (2,43)       (0,55)    (0,09)                         F = 237,4

В скобках указаны  значения стандартных ошибок для  коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.
2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.
3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

     Решение:

     1. Коэффициент детерминации  =0,875, показывает, что данная модель объясняет 87,5% вариацию  ВНП, а необъясненные факторы – 12,5%.