Контрольная работа по "Эконометрика"

                                                                                         (1.5)

 

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты (Таблица 4) SSост=∑Ei2 =59,51306                                                                                     (1.6)

Таким образом,                                                          (1.7)

При n=10 по таблице d-критерия d1=0,88 d2=1,32

Схема выводов

Полученное значение d=1,71 попадает в интервал от d2 до 2, следовательно, свойство независимости остатков выполняется.

Проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

                                                                                                (1.8)

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков     , следовательно, .

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение и составляет для данной задачи .

Схема выводов

Сравнение показывает, что |r(1)|=0,12 < rкр =0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S-критерия.

                                                                                                (1.9)

С помощью функции МАКС и МИН для ряда остатков определим Emax=3,991, Emin=4,4586. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет Se =2,72 (таблица 3).

Тогда

                                                            (1.10)

 Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S при n=10 составляет (2,67;3,69).

3,098 принадлежит интервалу (2,67;3,69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения  остатков выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=5%)

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в      таблице 5. Для свободного коэффициента a=(-15,7794) определена статистика t(a) =  -2,69. Для коэффициента регрессии b=2,19376 определена статистика  t(b)=26,71.

Критическое значение tкр=2,31 найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы k=10-1-1=8 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Сравнение показывает:

|t(a)| = 2,69 > tкр=2,31, следовательно, свободный коэффициент a является значимым, его следует сохранить в модели.

|t(b)| =26,71> tкр=2,31, коэффициент регрессии b является значимым, его нельзя исключить из модели.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=5%), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет R2=0,9889=98,8% (таблица 3).

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 98,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F-статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 4) и составляет F =713,17.

Критическое значение Fкр=5,32 найдено для уровня значимости α =5% и чисел степеней свободы k1=1, k2 =8. (функция FРАСПОБР).

Сравнение показывает: Fкр=5,32 < F =713,17; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу 5 столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 9).

Таблица 9

Вспомогательные расчеты

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Относительная погрешность
1	104,8774	-0,8773584906	0,843614
2	111,4586	-4,4586357039	4,166949
3	113,6524	2,3476052250	2,023798
4	129,0087	3,9912917271	3,000971
5	131,2025	0,7975326560	0,604191
6	144,365	0,6349782293	0,437916
7	161,9151	1,0849056604	0,665586
8	161,9151	-2,9150943396	1,833393
9	164,1089	-2,1088534107	1,301761
10	168,4964	1,5036284470	0,884487
		Eср.отн	1,576267

 

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение          Eср.отн =1,58% (функция СРЗНАЧ).

Сравним: 1,58%< 5%, следовательно, модель является точной.

ВЫВОД: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать адекватной и точной. Использовать такую модель для прогнозирования  в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α =0,1, если прогнозное значение фактора Х  составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит =67,2 (хmax=84; Х*=84*0,8=67,2). Рассчитаем по уравнению модели точечное прогнозное значение показателя Y*:

                                                    (1.11)

Таким образом, если объем капиталовложений составит 67,2 млн. руб., то ожидаемая сумма объема выпуска продукции будет около 131,64 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность γ =1-α и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y*.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования

                                                                                 (1.12)

Предварительно подготовим:

• Стандартную ошибку модели SE =2,727 (таблица 3)
• По столбцу исходных данных Х  найдем среднее значение Х =70,6 (функция СРЗНАЧ)
• определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:                         (1.13)

При tкр(10%,8)=1,86 размах доверительного интервала для среднего значения:

                                                         (1.14)

Границами прогнозного интервала будут

                                                   (1.15)

                                                     (1.16)

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений  составит 67,2 млн. руб., то ожидаемая средняя сумма объема выпуска продукции будет  от 129,96 до 133,33 млн. руб.

7. Представим графически: фактические и модельные значения Y; результаты прогнозирования.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого добавим ряд:

Имя →  прогноз; значения X→x*;значения Y→y*;

Затем с помощью опции Добавить линию тренда построим линию модели:

тип →линейная; параметры →показывать уравнение на диаграмме.

Рисунок 2

8. Составим уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Приведем графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений уi (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 10).

Таблица 10

X	Y	1/X
55	104	0,018182
58	107	0,017241
59	116	0,016949
66	133	0,015152
67	132	0,014925
73	145	0,013699
81	163	0,012346
81	159	0,012346
82	162	0,012195
84	170	0,011905

 

 С помощью  программы РЕГРЕССИЯ  получим

	Коэффициенты
Y-пересечение	288,8262
1/X	-10330,3

 

Таким образом, а=288,8262; b=-10330,3, следовательно, уравнение гиперболической модели .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения yTi для каждого уровня исходных данных хi.

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных (хi ,yi) ряд теоретических значений (хi, yTi).

Рисунок 3

Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: Исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

Рисунок 4

Таким образом,  уравнение степенной модели .

Показательная  модель тоже стандартная (экспоненциальная). Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Рисунок 5

         Можно вычислить b=e0.0162 =1,016332 (функция EXP), тогда уравнение показательной модели .

9. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.

Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня исходных данных xi; ошибки модели и относительные погрешности (таблицы 11-13).

Среднюю относительную погрешность найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс детерминации вычислим по формуле , для чего подготовим числитель дроби ∑ Ei2 – функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель – функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.

Таблица 11

 

Гиперболическая модель
X	Y	1/X	Ут	Е	Еотн
55	104	0,018182	101,00	2,9971	0,0288
58	107	0,017241	110,72	-3,7179	0,0347
59	116	0,016949	113,74	2,2633	0,0195
66	133	0,015152	132,31	0,6932	0,0052
67	132	0,014925	134,64	-2,6429	0,0200
73	145	0,013699	147,32	-2,3155	0,0160	квадроткл(Y)=	5364,9
81	163	0,012346	161,29	1,7082	0,0105	суммкв(Е)=	66,89
81	159	0,012346	161,29	-2,2918	0,0144	R-квадрат=	0,98753
82	162	0,012195	162,85	-0,8471	0,0052	Еср.отн.=	1,788
84	170	0,011905	165,85	4,1534	0,0244