Эконометрика

а) Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F- критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. Если расчетное значение с n₁=m и n₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой:

, где m –число факторов, объясняющих поведение зависимой переменной у.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии  производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия по формуле
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-a) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

В рассматриваемом примере F_факт.= 42,645, а F_табл.=5,59. Таким образом, F_факт.> F_табл. и принимается гипотеза о статистической значимости уравнения в целом. 

b) При проверке качества регрессионной модели целесообразно также оценить значимость коэффициентов регрессии. Эта оценка проводится по t-статистике Стьюдента путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

, где   - это стандартное (среднее квадратическое) отклонение коэффициента  уравнения регрессии b_j.

Величина  представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии S_e и j-го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений:

, где  , b_jj- диагональный элемент матрицы (X^TX)^-1.

Если расчетное  значение t-критерия с (n-m-1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Для парной линейной регрессии оценка статистической значимости коэффициента b линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что коэффициент регрессии статистически незначим: H₀: b=0.
2. Определяется фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии по формуле где , где S(b) – стандартная ошибка коэффициента регрессии используется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов; S²- остаточная дисперсия на одну степень свободы.

   Процедура оценивания существенности параметра а не отличается от рассмотренной для коэффициента регрессии b: где

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Стьюдента для заданного уровня значимости a, принимая во внимание, что число степеней свободы для распределения Стьюдента равно (n-m-1).
4. Если фактическое значение t-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-a) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента уравнения.

В рассматриваемом  примере

S(b)=         и t_факт.>t_крит., где t_крит.=2,3646. Значит, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

с) Проверка значимости линейного коэффициента корреляции r проводится с помощью t-критерия Стьюдента: t_набл.= сравнивается с критическим значением t-критерия из таблицы значений с учетом заданного уровня значимости (a=0,05) и числа степеней свободы (n-2). Если t_набл.> t_{критич.}, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е., нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Т.е. делается вывод, что есть тесная статистическая взаимосвязь. 
В парной линейной регрессии t²_r=F, так как . Кроме того, t²_b=F. Следовательно, t²_r=t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

В рассматриваемом  примере t²_r не совпало с t²_b из-за ошибок округлений.

Рассмотренная формула оценки коэффициентов корреляции рекомендуется при большом числе наблюдений и если r не близко к +1 или –1. Если же величина коэффициента корреляции близка к +1, то распределение его оценок отличается от нормального или распределения Стьюдента, так как величина коэффициента корреляции ограничена значениями от –1 до +1.

5. Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.

Продолжим рассмотрение нашего примера. С доверительной вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака, если факторный признак увеличится на 5% от своего среднего значения. Построим точечный прогноз при х_р=1,05 =1,05*6080,6, т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х_р. Точечный прогноз дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения:

.