Эконометрика

 Задача№2

 y_t – нарастающая по кварталам прибыль коммерческого банка (КБ);

 x_1t – процентная ставка КБ по кредитованию юридических лиц;

 x_2t – процентная ставка КБ по депозитным вкладам. 

 

 

 Предположим, что форма связи между результативным и факторными признаками линейная.

 Определим множественную  линейную модель ŷ = a + b₁ x₁+ b₂ x₂. Находим коэффициенты a и b, которые получаются в результате решения системы нормальных уравнений, полученной на основе МНК.

 ΣY – an – b₁ ΣX₁ b₂ ΣX₂ =0;

 ΣYX₁ – aΣX₁ – b₁ ΣX₁² – b₂ Σ X₁X₂ =0;

 ΣYX₂ – aΣX₂ – b₁ Σ X₁X₂ – b₂ ΣX₂²=0; 

 10a + 442b₁ + 246b₂ = 238;

 442a + 20094b₁ + 10670b₂ = 10895;

 246a + 10670b₁ + 6188b₂ = 5728; 

 a = - 12,48802292 ≈  - 12,488

 b₁ = 0,731706475 ≈ 0,7317

 b₂ = 0,160430761 ≈ 0,16

 Таким образом, ŷ = - 12,488 + 0,7317x₁ + 0,16x₂.

 Экономическая интерпретация: Коэффициент регрессии при каждой переменной x дает оценку ее влияния на величину y в случаи неизменности влияния на нее всех остальных переменных.

 b₁: С увеличением средней процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на 1 % прибыль КБ в среднем увеличится на 0,7317 млн руб. Из каждого дополнительного процента в ставке процента по кредитованию юридических лиц КБ получает 0,7317 млн руб. прибыли. Так как коэффициент b₁ положительный, связь между x₁ и y прямая.

 b₂: С увеличением средней процентной ставки КБ по депозитным вкладам на 1 % прибыль КБ в среднем увеличится на 0,16 млн руб. Из каждого дополнительного процента в ставке процента по депозитным вкладам КБ получает прибыль в 0,16 млн руб. Так как коэффициент b₂ положительный, связь между x₂ и y прямая.

 Коэффициент а не следует интерпретировать, поскольку x = 0 далеко от выборочных значений. Буквальная интерпретация может привести к неверным результатам. (Коэффициент а говорит о том, что без увеличения обеих процентных ставок прибыль КБ уменьшится на 12,488 млн руб).

 В виду того, что существует различие единиц измерения результативного признака и факторных признаков, для непосредственной оценки влияния x₁ и x₂ на y вычисляются коэффициенты эластичности и β-коэффициенты.

 k_эл1 = 1,358883454 ≈ 1,359

 При увеличении процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на 1 % от ее среднего уровня прибыль КБ в среднем увеличится на 1,359%.

 k_эл2 = 0,165823391 ≈ 0,166

 При увеличении процентной ставки КБ по депозитным вкладам на 1 % от ее среднего уровня прибыль КБ в среднем увеличится на 0,166%.

 β₁ = 0,966484505 ≈ 0,966

 Увеличение  процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на величину среднеквадратичного  отклонения этого показателя (44,2) приведет к увеличению прибыли КБ на 0,966 среднеквадратичного отклонения y (23,8).

 β₂ = 0,104807278 ≈ 0,105

 Увеличение процентной ставки КБ по депозитным вкладам на величину среднеквадратичного отклонения этого показателя (24,6) приведет к увеличению прибыли КБ на 0,105 среднеквадратичного отклонения y (23,8).

 Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических: Ā = 10,47%. Ошибка находится в пределах нормы.

 Анализ  показателей тесноты связи в  уравнении множественной регрессии  проводят, используя корреляционный анализ.

 Найдем  парные коэффициенты корреляции:

 r_yx1 = 0,889261521 ≈ 0,8893

 По  абсолютной величине r_yx1 > 0,7 – значит, связь между x₁ и y является тесной.

 r_yx2 = - 0,607307554 ≈ - 0,6073

 По  абсолютной величине r_yx2 < 0,7, но r_yx2 > 0,4 – значит, связь, существующая между x₂ и y является не очень сильной, но достаточно тесной.

 r_x1x2 = - 0,736809363 ≈ - 0,7368

 По  абсолютной величине r_x1x2 > 0,7 – значит, связь между факторными признаками тесная.

 Найдем  частные коэффициенты корреляции. Они показывают тесноту связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторных признаков, а также тесноту связи факторов при неизменных значениях результата.

 r_yx1/x2 = 0,8224896 ≈ 0,822 – связь между y и x₁ при неизменном x₂ прямая, т.к. r_yx1/x2 > 0 и тесная, т.к. r_yx1/x2 > 0,7;

 r_yx2/x1 = 0,15491998 ≈ 0,155 – связь между y и x₂ при неизменном x₂ прямая, т.к. r_yx2/x1 > 0 и слабая, т.к. r_yx2/x1<0,4;

 r_x1x2/y = - 0,5414430 ≈ - 0,541 – связь между x₁и x₂ при неизменном y обратная, т.к. r_yx1/x2 < 0 и не очень тесная, т.к. r_yx1/x2 < 0,7. Поскольку существует неслабая связь между факторами, можно говорить о явлении мультиколлинеарности регрессии, т.е. факторы оказывают совместное влияние на y.

 Коэффициент множественной корреляции рассматривает тесноту связи между y и всеми факторами:

 R_yx1x2 = 0,892080282 ≈ 0,892

 Таким образом, степень тесноты связи  прибыли КБ с факторами процентной ставки по кредитованию юридических  лиц и процентной ставки по депозитным вкладам является высокой.

 Найдем  совокупный коэффициент детерминации на основе коэффициента множественной корреляции:

 R² = 0,7958072 ≈ 0,796

 Это означает, что совместное влияние  процентной ставки по кредитованию юридических  лиц и процентной ставки по депозитным вкладам объясняет почти 80% изменения  среднеквартальной прибыли КБ. 20% вариации среднеквартальной прибыли КБ определяется вариацией факторов, неучтенных в модели.

 Проверим  статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Выдвигаем основную гипотезу и альтернативную:

 H₀: b₁ = 0

 H₁: b₁ ≠ 0

 Найдем  стандартную ошибку оценки b₁: S_b1 = √D[b₁]; S_b1 = 0,191

 t_факт = 3,826; t_табл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

 t_факт > t_табл , принимаем гипотезу H₁ , следовательно коэффициент b значимый.

 Построим  доверительный интервал:           b₁ - S_b1t < β₁ < b₁ + S_b1t

         0,279472 < β₁ < 1,183941

 Данный  доверительный интервал накрывает  истинное значение параметра β₁ с вероятностью 95%. Чем меньше доверительный интервал, тем точнее оценка. Имеем небольшой доверительный интервал, значит, полученная оценка достаточно точна.

 H₀: b₂ = 0

 H₁: b₂ ≠ 0

 Найдем  стандартную ошибку оценки b₂: S_b2 = √D[b₂]; S_b2 = 0,387

 t_факт = 0,415; t_табл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

 t_факт < t_табл , принимаем гипотезу H₀ , следовательно коэффициент b незначимый.

 Построим доверительный интервал:           b₂ - S_b2t < β₂ < b₂ + S_b2t

     - 0,7539307 < β₂ < 1,074792

 Данный  доверительный интервал накрывает  истинное значение параметра β₂ с вероятностью 95%. Полученный доверительный интервал больше предыдущего, значит, полученная оценка менее точна.

 H₀: a = 0

 H₁: a ≠ 0

 Найдем  стандартную ошибку оценки a: S_a = √D[a]; S_a = 16,7741

 t_факт = - 0,744; t_табл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

 t_факт < t_табл , принимаем гипотезу H₀ , следовательно коэффициент a незначимый.

 Построим  доверительный интервал:            a – S_at < α < a + a₂t

   - 52,152491 < α < 27,17644

 Данный  доверительный интервал накрывает  истинное значение параметра α с вероятностью 95%. Полученный доверительный интервал очень большой, значит, полученная оценка неточная.

 Проверим  качество модели в целом с помощью F-критерия Фишера.

 Выдвинем  гипотезу H₀ о том, что уравнение в целом статистически незначимо и конкурирующую гипотезу H₁ :

 H₀: R² = 0

 H₁: R² ≠ 0

 F_факт = 13,64066556 ≈ 13,64

 F_табл = 4,46 (уровень значимости α = 5%, число степеней свободы k = 8) 

 F_факт  >  F_табл Значит, следует принять гипотезу H₁ , т.е. уравнение в целом статистически значимо, y зависит от x₁ и x₂ неслучайно. 

 Проверим  выполнимость предпосылки статистической независимости отклонений между собой, т.е. их некоррелированность. На практике используют критерий Дарбина-Уотсона.

 DW = 2,2672;   1,5 < DW < 2,5 → отсутствует автокорреляция остатков, т.е. отклонения независимы между собой.

 Это означает, что построенная линейная регрессия, скорее всего, отражает реальную зависимость и не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную.