Эффективность использования трудовых ресурсов

 

 - к 1. Коэффициент В близок к единице, регрессия определена верно и хорошо описывает соответствующую зависимость переменных.

 

Временной ряд

Временной ряд – это ряд наблюдений за значением некоторых показателей, упорядоченных в хронологической последовательности.

Отдельные наблюдения временного ряда называются уравнениями этого ряда.

Каждый уровень динамического ряда связан с соответствующим моментом времени или временным интервалом.

 

Анализ тенденции развития показателя. Тренд.

Задача этого анализа – выявление основной тенденции развития и измерение отклонений от нее.

Тенденция развития – это общее направление развития.

Тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой кривой, соответствующей функции времени. Аналитическое выражение тенденции развития называется трендом.

Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития является сглаживание временного ряда.

Различные приемы сглаживания позволяют заменить фактические уровни ряда расчетными, имеющими значительно меньшую колеблемость, чем исходные.

 

Метод аналитического сглаживания

При этом методе подбирается уравнение тренда в следующей последовательности:

1. предполагается несколько уравнений тренда;
2. для каждого предполагаемого уравнения рассчитываются параметры;
3. рассчитывается показатель рассеивания Q;
4. выбирается уравнение тренда.

В качестве уравнения тренда могут быть уравнения следующих кривых:

1) прямой  ;

2) параболы  ;

3) показательной  кривой 

 

Расчет параметров уравнений

Параметры a, b, c этих кривых рассчитываются из соответствующих систем уравнений, полученных методом наименьших квадратов.

А)Для линейной функции вида х=a+bt:

        (4.6)

Расчетная таблица для определения параметров а и b

уравнения линейного тренда

Годы	ti	xi	ti2	xiti
2003	1	35,6	1	35,6
2004	2	118,7	4	237,4
2005	3	317,6	9	952,8
2006	4	468	16	1872
2007	5	537,5	25	2687,5
2008	6	647,4	36	3884,4
∑	21	2124,8	91	9669,7

 

Полученные суммы подставим в формулу (4.6):

Решение системы: а=- 92,44; b= 127,59.

Уравнение линейного тренда : .

Затем определяется коэффициент рассеяния Q1 по формуле:

     (4.9)

 Для  этого заполним следующую таблицу:

Расчетная таблица для определения коэффициента рассеивания

годы	ti	xi			2
2003	1	35,6	35,15	0,45	0,2025
2004	2	118,7	162,74	-44,04	1939,5216
2005	3	317,6	290,33	27,27	743,6529
2006	4	468	417,92	50,08	2508,0064
2007	5	537,5	545,51	-8,01	64,1601
2008	6	647,4	673,1	-25,7	660,49
∑	21	2124,8	2124,75	-	5916,0335

 

Показатель рассеивания для уравнений прямой равен: Q1=5916,0335.

Б) Расчет коэффициента рассеяния для показательной функции x=abt.

Параметры a и b находятся из системы уравнений (4.7).

Для показательной функции вида x=abt:

       (4.7)

 

Для решения данной системы заполняется следующая расчетная таблица:

Расчетная таблица для определения параметров а и b

уравнения тренда - показательной функции

Годы	ti	xi	lgxi	ti2	tilgxi
2003	1	35,6	1,55145	1	1,55145
2004	2	118,7	2,074451	4	4,148901
2005	3	317,6	2,50188	9	7,505641
2006	4	468	2,670246	16	10,68098
2007	5	537,5	2,730378	25	13,65189
2008	6	647,4	2,811173	36	16,86704
∑	21	2124,8	14,33958	91	54,4059

 

Полученные суммы подставим в формулу (4.7):

 a=1,5464; b=0,2409

  Уравнение показательной функции .

 Затем  определяется коэффициент рассеяния  Q2 по формуле (4.9)

 Расчетная  таблица для определения коэффициента  рассеивания

Годы	ti	xi			2
2003	1	35,6	0,37252776	35,22747224	1240,9748
2004	2	118,7	0,089741937	118,6102581	14068,39332
2005	3	317,6	0,021618833	317,5783812	100856,0282
2006	4	468	0,005207977	467,994792	219019,1254
2007	5	537,5	0,001254602	537,4987454	288904,9013
2008	6	647,4	0,000302234	647,3996978	419126,3687
∑	21	2124,8	0,490653342	-	1043215,792

 

Показатель рассеивания для показательной функции равен: Q2=1043215,792.

 В) Расчет коэффициента рассеяния для квадратичной параболы х=a+bt+сt2. Параметры a, b и с находятся из системы уравнений (4.8)

                                             (4.8)

                     Расчетная таблица для определения параметров а, b и с

уравнения тренда - квадратичной параболы

Годы	ti	xi	ti2	ti3	ti4	xiti	xiti2
2003	1	35,6	1	1	1	35,6	35,6
2004	2	118,7	4	8	16	237,4	474,8
2005	3	317,6	9	27	81	952,8	2858,4
2006	4	468	16	64	256	1872	7488
2007	5	537,5	25	125	625	2687,5	13437,5
2008	6	647,4	36	216	1296	3884,4	23306,4
∑	21	2124,8	91	441	2275	9669,7	47600,7

 

Полученные суммы подставим в формулу (4.7):

Решение системы: a=-156,38;  b=175,54; c=-6,85.

Уравнение квадратичной параболы примет вид: .

Затем определяется коэффициент рассеяния Q3 для квадратичной параболы по формуле (4.9).

 

 

Расчетная таблица для определения коэффициента рассеивания

Годы	ti	xi			2
2003	1	35,6	12,31	23,29	542,4241
2004	2	118,7	167,3	-48,6	2361,96
2005	3	317,6	308,59	9,01	81,1801
2006	4	468	436,18	31,82	1012,5124
2007	5	537,5	550,07	-12,57	158,0049
2008	6	647,4	650,26	-2,86	8,1796
∑	21	2124,8	2124,71	-	4164,2611

 

Показатель рассеивания для уравнений параболы равен: Q3=4164, 2611.

Далее осуществляется сравнение коэффициентов рассеяния Q1 , Q2 и Q3. За уравнение тренда принимается уравнение той кривой, коэффициент рассеяния которой минимален. В данном примере это квадратичная парабола.

Далее рассмотрим графическое изображение полученных уравнений тренда.(Приложение 2). На графике наглядно видно, что из трех уравнений тренда наиболее близко расположена к фактическим точкам и лучше описывает существующую тенденцию функция квадратичной параболы, о чем свидетельствуют и проведенные расчеты по критерию выбора уравнения тренда - показателю рассеивания Q. Показатель рассеивания параболы, как было определено выше, минимальный (Q3=4164,2611).