Принципы и методы формирования инвестиционного портфеля

                                                                      n

б).компоненты W _n+1α _n+1=∑ W_i β_i *E(r_m), т.е. произведения портфельной беты

                                                                      i=1

и ожидаемой  рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными  бумагами.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:¹⁵

                                                             n+1

σ²_n=∑ W²_i * σ² _{ε ,i}   

                                                                                               i=1                                            n

При этом только необходимо иметь в виду, что  W _n+1=∑ W_i β_i  т.е.

                                                                                              i=1

(W _n+1)²= (W₁ β₁+W₂ β₂  +…W_n β_n )² ,а σ² _ε,n+1= σ²_m. Значит дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из 2х компонент:

а). средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат, что отражает долю риска портфеля, связанного с рисками самих ценных бумаг(собственный риск)

б) .взвешенной величины дисперсии рыночного показателя, где весом служит квадрат портфельной  беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью  самого рынка (рыночный риск)

В модели Шарпа цель инвестора сводится к  следующему: необходимо найти минимальное  значение дисперсии портфеля

                                                             n+1

σ²_n=∑ W²_i * σ² _{ε ,i}

                                                                                                i=1

при следующих  начальных условиях

n+1

  ∑ W_iα_i = E(r_n)

i=1

  _n

∑W_i=1

  i=1

       

                  n

W _n+1=∑ W_i β_i

              i=1 
 
 

3.3.Эффективные портфели.¹⁶

Ключ  к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о  существовании эффективного набора портфелей , так называемой границы  эффективности . Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который: обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска, обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень  риска при каждой величине ожидаемой  доходности, образуют границу эффективности . Эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска. Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации,      называется  дивесрифицируемым    или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.  

3.3.1.Выбор оптимального портфеля по Марковицу.

Если  портфель состоит из более чем  из 2х ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей  с ожидаемой доходностью E( r_n ) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо  найти минимальное значение дисперсии  портфеля

                                                                                    n                         n    n

=∑ + ∑ ∑W_iW_j

                                                                                   i=1                      i=1 j=1

при заданных начальных условиях:

                                                                                                     n

E (r_портф) = ∑ W_iE(r_i )= E( r_n )

                                                                                                  i =1

                                                                                                   n

  ∑W_i=1

                                                                                                   i=1

Для   решения    задачи    нахождения    оптимального   портфеля, содержащего  n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а)   n значений ожидаемой доходности E ( r_i ), где i = 1, 2,…, n каждой

ценной  бумаги в портфеле;

б)   n значений дисперсий каждой ценной бумаги;

в)   n ( n -1)/2 значений ковариации , где i , j = 1, 2,…, n .

Если  подставить значения E(r_i), σ _i и σ_{i ,j} в выражения (1-3), то ч в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины W_i – “веса” ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг сводится к следующему: для выбранной величины доходности E(r_n) инвестор должен найти такие значения W_i , при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения E(r_n) инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным. 

3.3.2.Выбор оптимального портфеля по Шарпу

Итак, отметим  основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы  эффективных портфелей в модели Шарпа:

1).Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности r _{i ,t} каждой ценной бумаги.

2). По  рыночному индексу вычислить рыночные доходности r_{m ,t} для того же промежутка времени.

3) .Определить  величины β_i:

β_i =

4).Найти  параметр α_i:

α_i= E(r_i) - β_i*E(r_m)

5).  Вычислить дисперсии σ² _{ε ,i} ошибок регрессионной модели

6).  Подставить эти значения в уравнения

       n+1

σ²_n=∑ W²_i * σ² _{ε ,i}

            i=1 

n+1

  ∑ W_iα_i = E(r_n)

i=1

_n

∑W_i=1

  i=1

                      

                  n

W _n+1=∑ W_i β_i

              i=1

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса W_i ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E(r_n), можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель. 
 

3.4. Практическая часть¹⁷

Задача  по модели Марковица

Определить  доходность и риск портфеля акций.Дано значение доходности акций трёх из компаний по шагам

 

1) .Определим  значение доходности  акции каждой компании

                       N

E(r) =∑ r_t           

                    t=1

  

                        7

E(r_A)=∑ r_{A =} (0,24 + 0,51 - 0,01 + 0,21 + 0,07 - 0,25 + 0,37) = 0,163 или 16,3%

                      t=1

E(r_A)=0,163 или 16,3 %

E(r_B) = 0,086 или 8,6%

E(r_C) = 0,136 или 13,6 %

2). Найдём риск каждой  из акций

                      N

σ² = ∑ [ r_t  - E(r)]²

                     t=1

= σ

                   7

σ²_А = ∑ [ r_t  - E(r)]² =[ (0,24- 0,163)²+(0,51- 0,163) ²+(-0,01- 0,163) ²+ (0,21-