Методы оценки обыкновенных акций

     С) Постройте график эффективной границы  Марковица при  условии, что акции «А» и «В» являются единственными объектами, доступными для инвестирования.

       Решение:

Среднее значение уровня дохода по ценной бумаге может быть определено по фактическим данным прошлого года

Rср = сумм Rª / n

Rª – доходность в период а

n- количество временных рядов

Rср (А) = 22, 31

Rср (В) = 27, 42

Риск  измеряется при помощи дисперсии  и стандартного отклонения.

Дисперсия характеризует разброс вокруг ожидаемого значения.

s ² = сумм (Rm – Rср) ² / (n-1)

Rm – доходность уровня m

s ² (А) = 0.0025

s ² (В) = 0.0007

Стандартное отклонение

s = SQRT(s ²)

s (А) = 0,05

s (В) = 0,026

Значения  стандартного отклонения свидетельствуют  о том, что доходность портфеля А, отклоняется от ожидаемого значения в среднем на 0,05 процентных пункта, по бумаге В – на 0.026 .

 

 Портфель  состоящий из двух ценных бумаг

Доходность

Rр = r1x1 +  r2x2

Среднее отклонение

sр = s (А)* s (В) / SQRT(s(А) ² +s (В) ²)

Пусть х1 – доля ценной бумаги А (50%)

1 –  х1 – доля ценной бумаги  В (50%)

Rр = 24,86

sр = 0,02 

 

     Задача 11. 

      Предположим, что безрисковая ставка составляет 5%. Ниже приведены ожидаемые доходности и стандартные отклонения трех паевых фондов.  

 
 

      А) Какие критерии оценки эффективности портфельных  инвестиций вы знаете?

      В) Какой критерий следует  использовать рациональному  инвестору для  выбора фонда исходя из условий?

      б) Какой фонд вы посоветуете  инвестору? Дайте обоснование своего выбора и подкрепите свое мнение расчетом соответствующего критерия? 

     Решение:

      Финансовые (портфельные) инвестиции, т.е. вложения в акции, облигации, другие ценные бумаги, связанные непосредственно с титулом собственника, дающим право на получение дохода от собственности.

Классической  моделью управления фондовым портфелем  является модель Марковица. Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг (ЦБ), каждая из которых характеризуется пятью  параметрами:

начальной ценой Wi0 одной бумаги перед помещением ее в портфель;

числом  бумаг ni в портфеле;

начальными  инвестициями Si0 в данный портфельный  сегмент, причем выполняется:

     Si0 = Wi0 ´ ni; ( 34)

ожидаемой доходностью бумаги ri;

ее стандартным  отклонением s i от среднеожидаемого дохода.

     Из  перечисленных условий ясно, что  случайная величина конечной цены бумаги (включающая промежуточные выплаты) имеет нормальное распределение  с параметрами (Wi0 ´ (1+ri), s i).

     Сам портфель характеризуется:

суммарным объемом портфельных инвестиций S;

долевым ценовым распределением бумаг в портфеле {xi}, причем для исходного портфеля выполняется:

     

     корреляционной  матрицей {r ij}, коэффициенты которой  характеризуют связь между доходностями i-ой и j-ой бумаг. Если r ij = -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если r ij = 1 - имеет место полно положительная корреляция. Всегда выполняется r ii = 1, так как ЦБ положительно коррелирует сама с собой.

     Таким образом, портфель описан системой статистически  связанных случайных величин  с нормальными законами распределения. Тогда, согласно теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r находится по формуле:

                 (36)

     а стандартное отклонение портфеля s определяется по формуле:

        ( 37)

     Задача  управления таким портфелем имеет  следующее описание: определить вектор {xi}, максимизирующий целевую функцию r вида (36) при заданном ограничении на уровень риска s , оцениваемый (37): 

     . ( 38) ( 38)

     Замечание. В подходе Марковица к портфельному выбору под риском понимается не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости ожидаемого дохода по портфелю, причем как в меньшую, так и в большую сторону. Можно без труда перейти от задачи вида (38) к задаче, где в качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже заранее обусловленного уровня.

     Нечеткое  число как модель доходности ЦБ

     Поскольку доход по ЦБ случаен, его точное значение в будущем неизвестно, а вероятностное  описание такого сорта случайности  не вполне корректно, то в качестве описания доходности ЦБ уместно использовать треугольные нечеткие числа, моделируя экспертное высказывание следующего вида: “Доходность ЦБ по завершении срока владения ожидаемо равна и находится в расчетном диапазоне [r1, r2]”. Здесь эксперт отказывется от вероятностного описания доходности, отсекает слабовозможные случайные исходы с двух сторон от ожидаемого значения  (вероятность таких исходов при нормальном распределении не равна нулю) и формирует расчетный коридор, в котором ожидается уровень доходности ЦБ, при этом за  эксперт принимает либо наиболее ожидаемое, либо среднее значение доходности в расчетном коридоре. Функция принадлежности нечеткого числа имеет треугольный вид, если степень субъективной уверенности эксперта в отношении доходности равна нулю за пределами расчетного коридора значений доходности, а максимум этой уверенности, равный единице, достигается в точке . Эксперт убежден, что  заведомо попадет в любой расчетный коридор доходности, как бы ни менялись границы этого коридора.

     Доходность  портфеля как нечеткое число

     Способ  описания ожидаемой доходности в  форме нечеткого числа автоматически  снимает все проблемы, сопряженные  с учетом связи ЦБ по тенденциям. Потому что если доходность ЦБ - треугольное  нечеткое число, а доходность портфеля - линейная комбинация доходности компонент, то результирующий вид доходности портфеля также известен.

     Пусть= (r1i, ,r2i) - доходность по i-ой ценной бумаге, треугольное нечеткое число. Тогда  доходность по портфелю:

                  39

     

     также является треугольным нечетким числом. Вывод о том, что линейная комбинация треугольных нечетких чисел есть треугольное нечеткое число, здесь мы приводим без доказательства, как хорошо известный результат теории нечетких множеств.

     Оценка  портфельного риска

     Зафиксируем r* - критическое значение доходности портфеля. Если фактическое значение доходности r окажется ниже r*, то считаем, что портфель был сформирован  неэффективно.

     

     

     

       Модель управления  портфельным риском

     Теперь  зафиксируем - требуемый уровень  ожидаемой доходности портфеля. Манипулируя вектором {xi}, мы можем добиться минимума риска инвестиций. Запись этой задачи:

       (43)

     Эта задача является двойственной задачей  нелинейного программирования к  задаче в следующей записи:

     

     Эта задача подобна (38), только в качестве фактора риска (линейного ограничения в форме равенства) выступает не стандартное отклонение портфеля, а степень риска неэффективности инвестиций.

     Мы  считаем, что применение нечетких множеств при учете исходной неопределенности относительно доходов по ценным бумагам - весьма перспективное направление анализа эффективности портфельных инвестиций. Эксперт-аналитик при использовании этого подхода избавлен от необходимости формировать вероятностные прогнозы на весьма шаткой информационной основе, когда поведение торгуемых ценных бумаг не обладает характером статистических случайных процессов. Эксперту достаточно сделать допущение о расчетном коридоре, в котором ожидаемо колеблется будующий доход по ЦБ. При этих простейших допущениях удается оценить степень риска неэффективности портфельных инвестиций и построить процедуру по минимизации этого риска.

     Оценка  портфельного риска

     Зафиксируем r* - критическое значение доходности портфеля. Если фактическое значение доходности r окажется ниже r*, то считаем, что портфель был сформирован неэффективно.

Определим рыночную цену риска для каждого  паевого фонда:

λ = (ДОХОДНОСТЬ – БЕЗРИСКОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА)/ Риск (s)

λ А=(16-5)/32 = 0,34

λВ=(14-5)/25=0,36

λС ==(12-5)/16=0,43

Для инвестора  предпочтительней паевый фонд А, так как рыночная цена риска является наименьшей и составляет 0,34. 

     Задача 19. 

     ОАО «Венера» и «Сатурн» имеют следующие  возможности для привлечения заемных средств в сумме 100 млн.  

 
 

     При этом ОАО «Венера» предпочитает заем по плавающей ставке, а ОАО «Сатурн» - по фиксированной.

     А) Разработайте своп, который принесет выгоду обоим предприятиям.

     В) Какова максимальная ставка комиссии, которую предприятия могут предложить организатору свопа? 

     Решение: 

     ОАО «Венера» предпочитает заем по плавающей  ставке, а ОАО «Сатурн» - по фиксированной.

     Однако  компания Венера заинтересована в эмиссии  задолженности по фиксированной  ставке, а компания Сатурн по плавающей ставке. Таким образом, разница между дырками составит

∆(13,4 -12,0) -∆( LIBOR + 0,6) – (LIBOR + 0,1) = 0,9

Данная  разница представляет собой тот  потенциальный выигрыш, которым  могут воспользоваться компании для уменьшения расходов по выплате  своих займов.

   Допустим компании согласны поделить  выигрыш пополам, т.е. для каждой  компании выигрыш составит