Теория Автоматизированного управления

      Требования  к приближенному построению АФХ:

      1. Построение подробно выполняется  для   . Для отрицательных частот вторая половина АФХ строится с учетом ее симметрии относительно горизонтальной оси.

      2. Должны быть определенны квадранты,  в которых проходит АФХ.

      3. Должны быть найдены и указаны  точки АФХ, соответствующие частотам  w = 0 и . При отсутствии таких точек (асимптотический характер кривой) должны быть найдены соответствующие асимптоты и правильно показан вид участков, соответствующих      и .

      4. Должны быть найдены  и указаны  частоты, соответствующие точкам пересечения АФХ с осями координат, и координаты таких точек.

      5. Направление увеличения частоты  указывается на АФХ стрелкой. 

      Пример 9.

      Апериодическое  звено 1-го порядка.

      На  рис. 6 и 7 показаны АЧХ и ФЧХ данного  звена. По этим графикам может быть установлено следующее:

      - при w > 0 значения ФЧХ лежат в пределах от 0 до , следовательно, АФХ при  w > 0 лежит в 4 квадранте, точек пересечения АФХ с осями координат при  0 < w < ¥  нет;

      - при w=0  А(w)=k,  j(w)=0, следовательно, вектор, направленный в точку АФХ при w = 0 имеет длину k и совпадает с положительной вещественной полуосью;

      - при    А(w)= 0, , следовательно, при АФХ приходит в начало координат вдоль вертикальной оси. АФХ показана на рис. 23 (точный расчет позволяет установить, что АФХ в данном примере представляет собой окружность).

      Проверим результат  по второй паре частотных характеристик. ВЧХ и МЧХ данного звена показаны на рис. 18 и 19. По этим графикам может быть установлено следующее:

     - при w > 0 горизонтальные координаты всех точек АФХ положительны (U(w) > 0), вертикальные координаты – отрицательны (V(w) < 0)), следовательно, при w>0 АФХ лежит в четвертом квадранте и не пересекает оси координат;

     - при w = 0 точка АФХ имеет декартовы координаты (U(0); V(0)) = (k; 0);

     - при  точка АФХ имеет координаты (0; 0).

     Представленная  на рис. 23 АФХ полностью соответствует  указанным результатам. 

Пример 10. Идеальное дифференцирующее звено.

W(s) = ks;   W(jw) = kjw;   A(w) = kw;

;  U(w) = 0;  V(w) = kw.

Графики частотных  характеристик показаны на рис. 24.

По  АЧХ и ФЧХ можно установить следующее:

      - при w > 0  , следовательно, на всех положительных частотах векторы, направленные в точки АФХ (и сами точки АФХ) лежат на положительной вертикальной полуоси;

     - при w = 0  A(w) = 0, при , при увеличении частоты точки АФХ  удаляются от начала координат.

     Аналогичные выводы можно сделать, анализируя ВЧХ и МЧХ.

     АФХ представлена на рис. 25. Характеристика совпадает с вертикальной осью. 

      Следующий пример требует особого внимания. Он показывает, что в ряде случаев только одна пара характеристик (АЧХ и ФЧХ или ВЧХ и МЧХ) не дает всей необходимой информации для приближенного построения АФХ. 

     Пример 11. Интегрирующее звено с замедлением.

;  .

     Выражения для АЧХ и ФЧХ  имеют вид:

      ,  .

     Их  графики показаны на рис. 26.

      По АЧХ и  ФЧХ можно установить следующее:

      - при w > 0 значения ФЧХ лежат в пределах от до -p, следовательно, АФХ при w > 0 лежит в третьем квадранте, точек пересечения АФХ с осями координат нет;

     - при  длина вектора, направленного в точки АФХ, стремится к бесконечности, угол наклона - к значению , следовательно, АФХ уходит вниз в бесконечность (при этом  степень ее удаления от вертикальной оси установить не удается);

     - при    A(w) = 0,  j(w) = -p, следовательно АФХ стремится в начало координат вдоль горизонтальной оси;

     - длина вектора направленного  в точки АФХ, и угол его  наклона изменяются монотонно.

     Варианты  АФХ, соответствующие полученным результатам (с учетом неопределенности при ), показаны на рис. 27.

      Дополнительную  информацию, позволяющую уточнить поведение АФХ на малых частотах, можно получить по ВЧХ и МЧХ. Получим выражения для этих характеристик и построим примерные графики (рис. 28):

,

, .

      По  графику и из соответствующего выражения  нетрудно установить, что горизонтальная координата точек АФХ при  стремится к значению –kT. Это позволяет сделать вывод о том, что правильная АФХ для данного примера – кривая 2 на рис. 27. Причем асимптотой АФХ при и является вертикальная прямая, пересекающая горизонтальную ось в точке с координатой –kT.

      Отметим, что попытка выполнить приближенное построение АФХ по ВЧХ и МЧХ  также вызовет затруднения: по графикам, показанным на рис. 28, не удается установить асимптотический характер АФХ при  (характеристика приходит в начало координат вдоль горизонтальной оси).

      Таким образом, при построении АФХ целесообразно  использовать обе пары частотных  характеристик: АЧХ и ФЧХ, ВЧХ  и МЧХ – для получения полной информации или, по крайней мере, для  проверки результата. 

      Пример 12. Апериодическое звено 2 порядка.

;  .

     Выражения для АЧХ и ФЧХ  имеют вид:

      ,  .

     Их  графики показаны на рис. 29.

       По графикам на рис. 29 можно установить следующее:

      - при w > 0 значения ФЧХ отрицательны и монотонно изменяются от 0 до -p, следовательно, АФХ при w > 0 начинается в четвертом и заканчивается в третьем квадранте, смене квадрантов соответствует точка пересечения АФХ с осью координат (вертикальной) на некоторой ненулевой частоте;

      - при w = 0  A(w) = k, соответствующая точка АФХ лежит на положительной горизонтальной полуоси;

      - при увеличении частоты длина  вектора, направленного в точку  АФХ, монотонно уменьшается (кривая  АФХ приближается к началу  координат);

      - при  , АФХ заканчивается в начале координат;

      - вторая половина АФХ, соответствующая  отрицательным частотам, может быть получена отражением относительно горизонтальной оси.

       Вид АФХ показан  на рис. 30. Поскольку имеются точки пересечения АФХ с осями координат, требуется их расчет. В точке пересечения положительной ветви АФХ с вертикальной осью имеет место . Отсюда может быть получено уравнение для определения соответствующей частоты w₁:

.

      Очевидно, при  решать такое уравнение затруднительно. В то же время, можно отметить, что рассматриваемой точке соответствует и другое условие: U(w₁) = 0. Поэтому уравнение для определения w₁ может быть получено и другим способом – на основе выражения для ВЧХ. Получим выражения для ВЧХ и МЧХ:

;

,   .

      Построить графики ВЧХ и МЧХ и сопоставить  их с АФХ предлагается самостоятельно.

      Уравнение для определения частоты w₁ примет вид: , откуда . Координату точки пересечения АФХ с вертикальной осью можно найти, подставив значение w₁ в выражение для ВЧХ:

,

или в  выражение для АЧХ (в этом случае получим расстояние до искомой точки от начала координат):

.

      Для отрицательных частот точка пересечения  АФХ с вертикальной осью будет  соответствовать частоте -w₁ и иметь вертикальную координату .