Теория Автоматизированного управления

, . 

      5. z₅= -1+ jwT - на рис. 4 такому выражению соответствует изображающая точка 5. Hасстояние от начала координат до точки 5 находится аналогично случаям 3 и 4:

.

      Угол  наклона вектора, направленного в точку 5 из начала координат, j₅ лежит в пределах от до p и не может быть непосредственно определен как главное значение арктангенса. В соответствии с рисунком можно получить: j₅ = p - j₃, где j₃ - аргумент  z₃, j₃ = arctg wT. Окончательно:

arg z₅ = p - arctg wT. 

      Перейдем  к сомножителям второго порядка  относительно s. 

       6. Выражение  вида T₁s + T₂s +1 имеет комплексные корни при условии        T₂<2T₁. Соответствующий сомножитель ЧПФ будет иметь вид     z₆=T₁²(jw)²+T₂jw+1. Для выделения его вещественной и мнимой частей и интерпретации на комплексной плоскости приведем его к виду z₆=1-T₁²w²+jwT₂ и рассмотрим положение изображающей точки при различных значениях аргумента w (рис. 5).

        Горизонтальная координата изображающей точки определяется выражением  1-w²T₁², вертикальная - выражением wT₂.

      При w=0 изображающая точка лежит на горизонтальной оси и имеет координату 1. При w=0 arg z₆ =0. Для диапазона частот горизонтальная координата изображающей точки остается положительной, и значение  arg z₆ непосредственно определяется как главное значение арктангенса:

.

      При .

      При аналогично случаю 5 arg z₆ = j₆ и лежит в диапазоне от  до p. Угол j₆ можно найти как p + j₆', где  в силу wT₁>1 оказывается отрицательным. Получаемый результат:

принято записывать таким образом, чтобы  под знаком арктангенса содержалось положительное выражение:

.

      В итоге для всего диапазона  положительных частот получим:

     Модуль  рассматриваемого сомножителя определяется для любых частей одинаково –  через его вещественную и мнимую части:

. 

     Рассмотрим  ряд примеров получения АЧХ и  ФЧХ динамических звеньев. 

     Пример 1. Апериодическое звено 1 порядка.

, .

     Представим  ЧПФ в виде отношения 

где z₁ = k, z₂ = jwT + 1.

     Выражение для АЧХ примет вид:

                                          (4)

     Для построения примерного графика АЧХ  отметим следующее:

     - при w = 0 ;

     - при  знаменатель выражения (4) обращается в бесконечность следовательно ;

     - при увеличении w от 0 до значения A(w) монотонно убывают;

     - модуль является четной функцией, следовательно при рассмотрении  частот от - до график АЧХ всегда симметричен относительно вертикальной оси.

     Примерный график АЧХ для рассматриваемого звена представлен на рисунке 6.

     Выражение для ФЧХ примет вид:

j(w)=arg z₁ – arg z₂ = 0 – arctg wT = – arctg wT.                   (5)

     Для построения примерного графика ФЧХ  отметим следующее:

     - при w = 0  j(0) = – arctg 0 = 0;

     - арктангенс является монотонно  возрастающей функцией, причем для  главного значения арктангенса  , следовательно ;

     - арктангенс является нечетной  функцией, следовательно ФЧХ, определяемая в общем случае на основе выражения (2) – также нечетная функция, и график ФЧХ при рассмотрении частот от - до симметричен относительно начала координат.

     Примерный график ФЧХ для рассматриваемого примера представлен на рисунке 7. 

       

     Пример 2. Колебательное звено.

.

     Получим ЧПФ и представим ее в виде дроби, состоящей из простейших сомножителей:

где z₁ = k, z₂ = 1 - w²T₁² + jwT₂.

     Выражение для АЧХ примет вид:

                                       (6)

     Проанализируем  его:

     - при w=0  ;

     - ;

     При достаточно малых значениях T₂ по сравнению с T₁ полученная функция A(w) может иметь максимум (резонансный пик). Соответствующее максимуму  значение аргумента (частоты) найдем из условия равенства нулю производной:

     Экстремумы  имеют место на частотах:

w₁ = 0,

     Проанализировав знаки  на найденных частотах, нетрудно убедиться, что частоте w₁ соответствует минимум, частотам w₂ и w₃ – максимумы выражения (6). Кроме того, отметим, что вещественные значения w_2,3 существуют при – это и есть условие наличия резонансного пика на АЧХ колебательного звена.

      Примерный вид  АЧХ для различных соотношений  T₁ и T₂ показан на рисунке 8.

     Выражение для ФЧХ рассматриваемого звена примет вид:

                                         (7)

       Проанализируем его:

     - при w = 0 ;

     - при  оба знаменателя в выражении (7) обращаются в 0, аргументы арктангенсов стремятся к бесконечности, значение арктангенсов достигают , следовательно , и разрыва ФЧХ не имеет;

     - при  ,  , .

      Примерные графики  ФЧХ для различных соотношений T₁ и T₂ показаны на рисунке 9.

     Характеристики  на рисунках 8 и 9, как и во всех подобных задачах, построены с учетом четности АЧХ и нечетности ФЧХ. 

     Пример 3.

      .

     Получим ЧПФ и представим ее в виде дроби, состоящих из простейших сомножителей:

,

где  z₁= k,  z₂ = jwT₁ +1,  z₃ = jw, z₄ = jwT₂ +1.

     Выражение для АЧХ примет вид:

     Проанализируем  полученное выражение:

     - при w=0  , , приближенно можно записать и очевидно, ;

      - при  произведения wT₁ и  wT₂ принимают значения, много большие 1 (wT₁>>1, wT₂ >>1), приближенно можно записать и очевидно, ;

     - все сомножители выражения для A(w) изменяются монотонно, следовательно, значения A(w) при увеличении частоты от 0 до монотонно убывают от до 0.

     Примерный график представлен на рисунке 10.

     Выражение для ФЧХ примет вид:

     Проанализируем его:

     - при w = 0 ;

     - при  значение каждого арктангенса достигает , следовательно, ;

     - при T₁>T₂ на любой конечной положительной частоте , следовательно, ,и график ФЧХ расположен выше уровня ;

     - при T₁<T₂ следует противоположный вывод.

     Примерные графики для различного соотношения постоянных времени представлены на рисунке 11.

      Пример 4.

,  

где ,  ,  .

      Выражение для АЧХ:

.

      Проанализируем  его:

      - при w = 0  ;

      - при малых частотах    , , , следовательно, график АЧХ выходит из начала координат вдоль наклонной прямой kw;