Министерство  образования Российской Федерации

Балтийский  государственный технический университет  “Военмех”

Кафедра систем обработки информации и управления

В. Ю. ЕМЕЛЬЯНОВ

 
 
 
 
 
 

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 

Конспект  лекций

Санкт-Петербург

2003

 

 

      Математический  аппарат частотных характеристик  вместе с преобразованием Лапласа является основой аппарата классической теории автоматического управления. Формальной основой методов получения частотных характеристик является теория комплексных функций. Однако ряд известных общих результатов последней при их применении к математическим моделям реальных объектов, рассматриваемым в рамках теории управления, нуждается в уточнении или в устранении неоднозначности.

        При получении всех частотных  характеристик входной сигнал звена или системы считается гармоническим. При последующем анализе систем частотные характеристики применяются и при наличии произвольных входных сигналов. Такой прием основан на возможности представления сигнала произвольного вида в виде суммы гармоник (ряд Фурье или интеграл Фурье).

      Определения и правила получения частотных  характеристик рассмотрим сначала  применительно к динамическим звеньям.

      Входной сигнал звена (рис. 1) рассматривается  в форме x₁(t)=sinwt, то есть считается изменяющимся по синусоидальному закону с амплитудой А=1, фазой j=0 и частотой w. Значение частоты рассматриваются в диапазоне от -¥ до +¥. Отрицательные частоты здесь вводятся для удобства построения математического аппарата анализа систем. На практике  характеристики получают для частот в диапазоне от 0 до +¥. В область отрицательных частот их распространяют в соответствии со свойствами четности или нечетности. Следует помнить, что аналитические выражения для частотных характеристик принято также записывать, подразумевая значение аргумента w³0.

      Известно, что, преобразуя гармонический сигнал, линейное звено может изменить его амплитуду  и фазу. Частота сигнала сохраняется. Степени изменения амплитуды и фазы определяются динамическими свойствами звена и зависят от частоты преобразуемого сигнала. Эти эффекты отражаются двумя главными частотными характеристиками – амплитудно-частотной и фазочастотной.  

1. Амплитудно-частотная  и фазо-частотная  характеристики 

     Амплитудно-частотная  характеристика (АЧХ) A(w) показывает степень усиления или ослабления звеном амплитуды пропускаемого гармонического сигнала в зависимости от его частоты.

     Фазо-частотная  характеристика (ФЧХ) j(w) показывает зависимость от частоты  фазового сдвига, вносимого звеном в пропускаемый гармонический сигнал.

     Формально АЧХ и ФЧХ могут быть получены на основе частотной передаточной функции (ЧПФ) звена W(jw).

     ЧПФ может быть получена из обычной передаточной функции заменой оператора Лапласа s на jw:

W(jw)=W(S)|_s=jw.

     ЧПФ представляет собой комплексную  функцию, то есть каждому фиксированному значению w=w₁, соответствует значение ЧПФ W₁=W(jw₁), в общем случае являющееся комплексным числом W₁=a+jb=re^jj, где а–вещественная часть, b–мнимая часть, – модуль числа W₁, j=arg(W₁)=arctg(b/a) – аргумент числа W₁.

      Интерпретация комплексного числа W₁ показана на рис. 2. Вещественная и мнимая части здесь являются соответственно горизонтальной и вертикальной координатами изображающей точки, модуль числа совпадает с расстоянием от начала координат до изображающей точки или длиной вектора, проведенного в изображающую точку из начала координат, аргумент числа совпадает с углом наклона такого вектора по отношению к положительной вещественной полуоси (положительное направление отсчета углов – против часовой стрелки).

      Если  рассматривать частоту как аргумент и изменять в пределах от -¥ до +¥ или от 0 до +¥, будет изменяться и значение ЧПФ, и всех ее характеристик.

      Аналогично  комплексному числу ЧПФ может  быть представлена в алгебраической (через вещественную и мнимую части) и показательной (через модуль и аргумент) формах:

W(jw)=U(w)+jV(w)=A(w)e^jj(w),

где U(w) и V(w) – соответственно вещественная и мнимая части ЧПФ, A(w) и j(w) – соответственно модуль и аргумент ЧПФ.

      АЧХ может быть определена как модуль ЧПФ: A(w)=|W(jw)|.

      ФЧХ определяется как аргумент ЧПФ: j(w)=argW(jw).

      По  аналогии с комплексным числом для  АЧХ и ФЧХ можно записать соотношения:

,                             (1)

,                             (2)

но пользоваться этими соотношениями для получения  характеристик динамических звеньев и систем не рекомендуется.

      Причины этого состоят в следующем:

     1. Передаточные функции динамических  звеньев и особенно систем  могут представлять собой достаточно сложные выражения – отношения полиномов относительно s или jw, степень которых может достигать 4-5. Преобразование такой дроби к виду U(w)+jV(w) весьма трудоемко, а результат будет довольно громоздким. Итоговое выражение вида (1) получается неоправданно сложным и явно неудобно для дальнейшего использования.

     2. При получении j(w) в форме (2) следует помнить, что математическая функция arctg x имеет бесконечное множество значений:

arctg x= Аrctg x ± np,

где Аrctg x – главное значение, лежащее в диапазоне от -p/2 до +p/2; n=0,1,2,… С формальной точки зрения все эти значения равноценны. Такая трактовка результата неприемлема при получении ФЧХ, так как последняя должна однозначно характеризовать свойства реального объекта, моделью которого является передаточная функция.

     Для устранения неоднозначности и значительного  упрощения процедуры получения  АЧХ и ФЧХ необходимо использовать следующий способ. 

     Передаточная  функция должна быть представлена в  форме дроби вида    

,                                                       (3)

где z_i - вещественные константы или полиномы относительно s первой или второй степени.

     При отсутствии комплексных корней относительно s у числителя и знаменателя W(s) они должны быть разложены на сомножители, содержащие s в первой степени. Один из сомножителей в числителе окажется вещественной константой (коэффициент передачи звена k).

     Только  при наличии комплексных корней относительно s у числителя или знаменателя W(s) сомножитель z_i оставляют в форме полинома второй степени относительно s, соответствующего такой паре корней.

     При выполнении указанных требований ЧПФ  будет иметь аналогичный вид:

,

где z_i – комплексные функции w, например z₁=k, z₂= jw, z₃=1+ jw T.

      Теперь  АЧХ и ФЧХ можно определить на основе правил умножения и деления комплексных чисел: 

     1. Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей.

     2. Модуль отношения равен отношению модулей числителя и знаменателя.

     3. Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

     4. Аргумент отношения равен разности аргументов числителя и знаменателя.

      Соответственно  для ЧПФ вида (3) получим:

A(w)=|W(jw)|=

,

где ;

j(w)=arg z₁+ arg z₂ – arg z₃ – arg z₄. 

      Рассмотрим  подробнее модули и аргументы сомножителей ЧПФ. 

       1. z₁=k – вещественная константа. На комплексной плоскости (рис.3) ей соответствует точка 1 с координатой k на горизонтальной (вещественной) оси.

      Расстояние  до точки 1 от начала координат равно k, вектор, проведенный из начала координат в точку 1, совпадает с положительной вещественной полуосью, следовательно,

|z₁|= k,  arg z₁ =0.

      Результаты  очевидны, так как звено с передаточной функцией W(s)=k масштабирует (усиливает или ослабляет) сигнал, не внося фазового сдвига. 

      2. z₂= jw - на рис.3 такому выражению соответствует изображающая точка 2 на вертикальной (мнимой) оси с координатой w. При w>0 получаем:

|z₂|=w , arg z₂ =

. 

      3. z₃=1+ jw T – в соответствии с рис. 3 (точка 3) получаем:

, .

      Далее везде, как принято в литературе по теории управления, будет использоваться только главное значение арктангенса и записываться с маленькой буквы. Окончательно: arg z₃ =arctg wT. 

4. z₄=1- jwT – в соответствии с рис. 3 (точка 4):