Теория Автоматизированного управления

       - при    , , , ;

      - все сомножители A(w) изменяются монотонно.

      Примерный график АЧХ представлен на рис. 12. 

      Выражение для ФЧХ:

.

       Для такого выражения:

      - ;

      - .

      С учетом монотонности полученного выражения и нечетности ФЧХ получим примерный график (рис. 13). 

      Пример 5.

, ;

,

где , , , .

      Выражение для АЧХ:

.

      Проанализируем  его:

      - при w = 0  ;

      - при малых частотах, где  , , , , , , следовательно, начальный участок АЧХ имеет вид параболы, выходящей из начала координат;

       - при  , , и с учетом наличия четвертой степени частоты в , то есть .

      Примерный график АЧХ представлен на рис. 14. 

      Выражение для ФЧХ:

.

       Проанализируем  его:

      - при w = 0  ;

      - при    , и , .

      Примерный график представлен на рис. 15. 

      Пример 6.

;

,

где , , , .

      Прежде  всего отметим, что следствием указанного выше правила умножения комплексных чисел являются следующие отношения: , ,  n - натуральное число.

      С учетом этого составим выражение  для АЧХ:

.

      Проанализируем  его:

       - при w = 0  A(0) = k;

      - при  , , , , ;

      - все сомножители в выражении для АЧХ изменяются монотонно.

      Примерные графики АЧХ для различных  соотношений постоянных времени показаны на рис. 16. 

      Составим  выражение для ФЧХ  и проанализируем его:

      - при w = 0  j(0) = 2^.0 – 0 – 3^.0 = 0;

       - при  каждый арктангенс достигает значения , .

      Отметим также, что в зависимости от соотношения постоянных времени график j(w) может иметь разный вид. На рис. 17 показаны примерные графики для следующих случаев:

      - значение T₁ значительно превышает T₂ и T₃;

      - значения постоянных времени примерно одинаковы;

      - значение T₁ значительно меньше T₂; 

2. Вещественная и  мнимая частотные  характеристики 

      Вещественной  частотной характеристикой (ВЧХ) называется вещественная часть частотной передаточной функции: .

      Мнимой частотной характеристикой (МЧХ) называется мнимая часть частотной передаточной функции: .

      Для получения ВЧХ и МЧХ выражение  для ЧПФ необходимо преобразовать к виду суммы

.

      Основная  задача, которую приходится решать при таком преобразовании, состоит в исключении комплексных выражений из знаменателя ЧПФ. Способ решения этой задачи известен из математики – домножение числителя и знаменателя на выражение, комплексно сопряженное к знаменателю.

      Комплексно  сопряженными являются выражения, отличающиеся знаком мнимой части: и .

      Произведение  комплексно сопряженных выражений  оказывается вещественным:

.

      В частном случае для чисто мнимого  выражения получим: . Отметим особо следующий результат:  j(-j)=1.

      Получаемые  в результате указанного преобразования выражения для ВЧХ и МЧХ справедливы как для положительных, так и для отрицательных частот. Тем не менее, для контроля правильности построения графиков этих характеристик следует помнить, что ВЧХ U(w) является четной функцией, а МЧХ V(w) - нечетной. 

      Пример 7.

      Апериодическое  звено 1 порядка.

.

      Таким образом, использование указанного выше способа позволило избавиться от комплексного выражения в знаменателе. Осталось разбить полученное выражение на два слагаемых. Первое из них не должно содержать в своем составе символа  j, для второго символ  j должен быть общим сомножителем:

.

     В результате: ,   .

     Проанализируем  полученное выражение для ВЧХ  и построим её график (рис. 18):

• при  w = 0   ;
• при    знаменатель стремится к бесконечности, и  .

      Для МЧХ (рис. 19):

• при w = 0

;

• при wT >> 1,

, ;

• при w > 0 V(w)< 0 .

 

      Пример 8. 

,  .

       В знаменателе содержатся два комплексных сомножителя: (удобнее рассматривать отдельно j) и . Комплексно сопряжёнными для них будут соответственно:  - j и  .

     Выполним  преобразование:

;

,   .

       Проанализируем  полученные выражения и построим их примерные графики (рис. 20 и 21):

• при w = 0    ;  
• ;
• при   , при   ;
• при w > 0  , при w < 0  ;
• ;
• при w > 0  .

 

3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика 

      Амплитудно-фазовой  частотной характеристикой (амплитудно-фазовой  характеристикой, АФХ) называется годограф частотной передаточной функции.

      Годограф  комплексной функции одного вещественного  аргумента строится на комплексной плоскости, показанной на рис. 2. Любому значению аргумента на комплексной плоскости соответствует точка. Множество точек, соответствующее плавному изменению аргумента от - ¥   до  ¥, образует кривую,  которая и называется годографом.

       Пусть  задана ЧПФ W(jw). Для некоторой частоты w₁  (для определенности w₁ > 0) соответствующая точка на комплексной плоскости может быть построена в декартовых координатах (рис. 22) на основе представления ЧПФ в алгебраической форме: W(jw₁ ) = U(w₁ ) +jV(w₁ ), где U(w₁) – значение ВЧХ, V(w₁) – значение МЧХ на частоте w₁ .

      Представление ЧПФ в показательной форме  даёт полярные координаты такой  точки:

,

где  А(w₁) - значение АЧХ, j(w₁)  - значение ФЧХ частоте w₁.

     При плавном изменении частоты от 0 до ¥  множество соответствующих точек образуют кривую, например, как показано на рис. 22.

      Для получения второй половины годографа, соответствующей отрицательным частотам, определим положение изображающей точки для  w = - w₁  на основе свойств четности и нечетности частотных характеристик.

      ВЧХ является четной функцией, следовательно, при изменении знака аргумента w горизонтальная координата изображающей точки сохраняет свое значение U(-w₁) = U(w₁). МЧХ – нечетная функция, следовательно, при изменении знака w  изменяется знак вертикальной координаты изображающей точки  V(-w₁) = - V(w₁).

      Таким образом, точки годографа, соответствующие  частотам w₁ и -w₁, симметричны относительно горизонтальной оси. Поскольку значение w₁ выбиралось произвольным, можно сделать вывод о том, что участки АФХ, соответствующие w > 0  и w < 0, симметричны относительно горизонтальной оси. Участок соответствующий w < 0, принято показывать пунктирной линией (рис. 22).

      Итак, АФХ может быть построена двумя  способами: с использованием ВЧХ  и МЧХ (декартовых координат) или с использованием АЧХ и ФЧХ (полярных координат). При правильном построении оба способа должны давать одинаковый результат.

      Точное  построение АФХ требует численного расчета и может быть выполнено с помощью компьютера. Однако для решения практических задач, как правило, можно ограничится приближенным построением АФХ вручную с точным расчетом отдельных точек.