Моделирование АД в Matlab

Рисунок 2.14 - Механические характеристики при различных сопротивлениях в цепи ротора и одновременном понижении напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

 

3.1 Математическое описание  обобщённой машины

 

Обобщённая  асинхронная машина содержит трёхфазную обмотку на роторе и статоре. Обмотки  подключены к симметричным источникам напряжения. Математическое описание такой машины базируется на известных  законах.

Уравнения равновесия ЭДС  на обмотках статора и ротора базируется на втором законе Кирхгофа.

Для статора:                                                    Для ротора:

                                              (3.1)

 

В уравнениях (3.1) фигурируют мгновенные напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, к поэтому R_А=R_В=R_С=Rs - активное сопротивление статорной обмотки, R_а=R_b=R_с=R_R - активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепления обмоток с токами, протекающими по обмоткам:

Для статора:

    (3.2 а)

 

Для ротора:

    (3.2 б)

 

Удивительно симметричные уравнения для определения потокосцеплений показывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (3.2) L_АА, L_BB, L_CC, L_aa, L_bb, L_cc, являются собственными индуктивностями соответствующих обмоток, все остальные - взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона - закон равновесия моментов на валу машины:

         (3.3)

где J (кг×м²) — момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора, - угловая скорость вала машины, (Н×м) - момент рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае он может быть функцией скорости и угла поворота, .

Наконец, четвертым и последним  законом, лежащим в основа анализа  машины, является закон, сформулированный Ленцем, как правило левой руки. Этот закон связывает векторные величины момента, потокосцепления и тока:

.         (3.4)

Следует сразу подчеркнуть, что, несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (3.1) - (3.4) для исследования машины встречает серьезные трудности. Из них основные:

- в уравнениях (3.3 и 3.4) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (3.1 и 3.2) скалярные;

- количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество коэффициентов - 44;

- коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора в уравнениях (3.2) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, то есть уравнения (3.2) являются уравнениями с переменными коэффициентами;

- уравнение (3.4) является нелинейным, так как в нем перемножаются переменные.

 

3.2 Метод пространственного вектора

 

На пути упрощения математического  описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного тока, удивительно удачным и изящным оказался метод пространственного вектора, который позволил существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод позволяет связать уравнения (3.1-3.4) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряжения, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором. Это математическое преобразование имеет вид (например, для тока статора):

        (3.5)

где - векторы, учитывающие пространственное смещение обмоток, - симметричная трехфазная система токов статора.

Подставив в уравнения (3.5) значение мгновенных токов, найдем математическое описание пространственного вектора статорного тока:

  (3.6)

На рис. 3.1 представлена геометрическая интерпретация пространственного вектора тока - это вектор на комплексной плоскости с модулем (длиной) I_m, вращающийся с угловой скоростью w в положительном направлении. Проекции вектора на фазные оси А, В, С определяют мгновенные токи в фазах. Аналогично пространственными векторами можно представить все напряжения, токи и потокосцепления, входящие в уравнения (3.1), (3.2).

 

Теперь можно переходить к упрощению уравнений.

 

 

Рисунок 3.1 - Пространственный вектор тока

 

Шаг первый. Для преобразования уравнений (3.1) в мгновенных значениях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на выражения: первые уравнения на , вторые – на , третьи – на , - и сложим раздельно для статора и ротора. Тогда получим:

        (3.7)

где L_S, L_R - собственные индуктивности статора и ротора, L_m(q) -взаимная индуктивность между статором и ротором. Таки образом, вместо двенадцати уравнений (3.1)-(3.2) получено лишь четыре уравнения (3.7).

 

Шаг второй. Переменные коэффициенты взаимной индукции уравнениях для потокосцеплений (3.7) являются результатом того, что уравнения равновесия ЭДС для статора записаны в неподвижно системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия ЭДС для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся произвольной скоростью w_к. В этом случае уравнения (3.7) преобразуются к виду:

      (3.8)

где w = р•w_m,  р - число пар полюсов в машине.

В уравнениях (3.8) все коэффициенты являются величинами постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть определены по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.

 

Шаг третий. Этот шаг связан с определением момента. Момент в уравнении (3.4) является векторным произведением любой пары векторов. Из уравнения (3.8) следует, что таких пар может быть шесть . Часто в рассмотрение вводится потокосцепление взаимной индукции . В этом случае появляется ещё четыре возможности представления электромагнитного момента машины через следующие пары: . После выбора той или иной пары уравнение момента приобретает определенность, а количество уравнений в системе (3.8) сокращается до двух. Кроме того, в уравнениях (3.3) и (3.4) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями. Это является следствием того, что пространственные векторы токов и потокосцеплений расположены и плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой скорости совпадают с осью. В качестве примера запись уравнений момента через некоторые пары переменных состояния машины имеет вид:

       (3.9)

В конечном виде уравнения обобщённой асинхронной машины имеют вид:

      (3.10)

3.3 Математическая модель асинхронной машины в осях, вращающихся с произвольной скоростью

 

Уравнения асинхронной машины с  короткозамкнутым ротором или машины с фазной обмоткой, если к ней  не подключено питающее напряжение, можно  получить из уравнений (3.10), если в этих уравнениях положить .

      (3.11)

 

Для динамических систем необходимо учитывать переходные электромагнитные процессы в машине. В этом случае в качестве пары переменных, описывающих машину, оставим пространственные векторы тока статора и потокосцепления ротора ( ), тогда уравнения (3.11) с учётом уравнений для потокосцеплений (3.8) после соответствующих преобразований примут вид:

    (3.12)

где - коэффициенты.

3.4 Математическая модель асинхронной машины в неподвижной системе координат

 

Для того чтобы лучше понять физические процессы, происходящие в асинхронной машине, исследуем машину в неподвижной системе координат.

В неподвижной комплексной системе  координат ( ) вещественная ось обозначается через a , а мнимая через b. Пространственные векторы в этом случае раскладываются по осям:

. Подставив эти значения в уравнения (3.12) и приравняв отдельно вещественные и мнимые части, получим:

     (3.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ (АД) В ПРОГРАММЕ MATLAB

 

4.1 Пакет визуального  программирования Simulink

 

Одной из наиболее привлекательных особенностей системы MATLAB является наличие в ней наглядного и эффективного средства составления программных моделей — пакета визуального программирования Simulink.

Пакет Simulink позволяет осуществлять исследование (моделирование во времени) поведения динамических линейных и нелинейных систем, причем составление «программы» и ввод характеристик систем можно производить в диалоговом режиме, путем сборки на экране схемы соединений элементарных (стандартных или пользовательских) звеньев. В результате такой сборки получается модель системы (называемая S-моделью), которая сохраняется в файле с расширением *.mdl. Такой процесс составления вычислительных программ принято называть визуальным программированием.

S-модель может иметь иерархическую структуру, то есть состоять из моделей более низкого уровня, причем количество уровней иерархии практически не ограничено. В процессе моделирования есть возможность наблюдать за процессами, которые происходят в системе. Для этого используются специальные блоки («обзорные окна»), входящие в состав библиотеки Simulink. Библиотека может быть пополнена пользователем за счет разработки собственных блоков.

Создание моделей в  пакете Simulink основывается на использовании технологии Drag-and-Drop (шаг за шагом). В качестве «кирпичиков» при построении S-модели применяются визуальные блоки (модули), которые сохраняются в библиотеках Simulink.

Библиотека блоков Simulink (рисунок 4.1) – это набор визуальных объектов, при использовании которых, соединяя отдельные блоки между собой линиями связей, можно составлять функциональную блок-схему любого устройства.

 

Рисунок 4.1 - Окно Simulink Library Browser

 

Сборка блок-схемы S-модели заключается в том, что графические изображения выбранных блоков с помощью мыши перетягиваются из окна раздела библиотеки в окно блок-схемы, а затем выходы одних блоков в окне блок-схемы соединяются со входами других блоков (также с помощью мыши). Соединение блоков выполняется следующим образом: указатель мыши подводят к определенному выходу нужного блока (при этом указатель должен приобрести форму крестика), нажимают левую кнопку и, не отпуская ее, перемещают указатель к нужному входу другого блока, а потом отпускают кнопку. Если соединение осуществлено верно, на входе последнего блока появится изображение черной стрелки.

Сборка модели осуществляется в рабочем поле специального окна (рисунок 4.2). Это окно имеет строку меню, панель инструментов и рабочее поле. Меню File (Файл) содержит команды, предназначенные для работы с МDL - файлами; меню Edit (Правка) — команды редактирования блок-схемы; меню View (Вид) команды изменения внешнего вида окна; меню Simulation (Моделирование) — команды управления процессом моделирования; меню Format (Формат) — команды редактирования формата (то есть команды, позволяющие изменить внешний вид отдельных блоков и блок-схемы в целом). Меню Tools (Инструменты) включает некоторые дополнительные сервисные средства, предназначенные для работы с S-моделью.

 

Рисунок 4.2 - Окно, в котором осуществляется сборка модели

 

Любая блок-схема моделируемой системы должна включать в себя один или несколько блоков-источников, генерирующих сигналы, которые, собственно, и вызывают «движение» моделируемой системы, и один или несколько блоков-приемников, которые позволяют получить информацию о выходных сигналах этой системы (увидеть результаты моделирования).

Запуск модели на выполнение осуществляется нажатием на кнопку , либо через меню Simulation→Start, остановка нажатием на кнопку , либо через меню Simulation→Stop, пауза - на кнопку , либо через меню Simulation→Pause, пауза активна, когда модель запущена на выполнение. Кнопки расположены на панели инструментов.

 

4.2 Преобразование уравнений  асинхронной машины в неподвижной  системе координат

 

Система уравнений (3.13) в операторной форме примет вид:

     (4.1)

 

Для создания модели, из системы уравнений (4.1) выражаются токи и потокосцепления и система уравнений примет вид:

     (4.2)

 

4.3 Расчёт параметров модели для АД серии 4А

 

Для моделирования выбран асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором марки 4А112M4У3 со следующими паспортными данными:

- номинальная выходная мощность Р_2н=5.5 кВт,

- номинальное фазное напряжение обмотки статора U_1н=220 В,

- номинальная частота тока f₁=50 Гц,

- номинальный коэффициент полезного действия η_н= 85.5 %,

- номинальный коэффициент мощности статорной обмотки сosφ=0.85,

- критическое скольжение ротора S_k= 25 %,

- номинальное скольжение ротора S_н= 3.6 %,

- число пар полюсов: р=2,

- число фаз: m=3,

- скорость холостого хода: n₁=1500 об/мин,

- момент инерции на валу машины: J=0,017 кг×м²,