2. Скорость фильтрации w (2.17) и расход  жидкости Q также изменяются во времени. Следовательно, несмотря на постоянство депрессии ∆p=pk-pг движение жидкостей в пласте будет неустановившимся.

     При как видно из (2.17), скорость фильтрации и дебит галереи увеличиваются с течением времени, т. е. по мере продвижения контура нефтеносности.

     Это легко объяснимо и из физических соображений. Движение жидкостей в  пласте происходит под действием  постоянного перепада давления Ар. Сопротивление, оказываемое обеими жидкостями, зависит от размеров их областей. С течением времени увеличивается область водоносности, сопротивление которой по сравнению с областью нефтеносности тех же размеров значительно меньше. Следовательно, общее сопротивление обеих областей во времени уменьшается, что при постоянной депрессии Ар ведет к росту скорости фильтрации и дебита галереи.

     3. Градиенты давления в водоносной  и нефтеносной областях, как это  следует из формул (2.13) и (2.14) с  учетом формулы (2.16). во времени  растут. Это же показано и на  рисунке 3. В нефтеносной области градиент давления больше, чем в водоносной, во столько раз, во сколько вязкость нефти больше вязкости воды. 

Рисунок 3 — кривые распределения давления в пласте при вытеснении нефти  водой  
 

Рисунок 4 — изменение давления на границе  раздела жидкостей (рк = 20 МПа. Pг = 10 МПа)  
 

Рисунок 5 — схема использования метода «полосок»  

     4. Кривая падения давления pf на  границе раздела в зависимости  от ее безразмерных значений  при различных отношениях вязкостей приведены на рис. 7.4. Расчеты проводились по формуле (7.9) при давлении на контуре питания pк = 20 МПа и на галерее — pг = 10 МПа.

     В случае, если первоначальное положение  водонефтяного контакта АВ в пласте не параллельно галерее (рис. 7.5), то решить задачу можно приближенно, используя, например, метод «полосок», предложенный В. Н. Щелкачевым. В потоке выделяются узкие полоски, в пределах каждой из которых водонефтяной контакт считается параллельным галерее, и движение в каждой полоске описывается выведенными в этом параграфе формулами. При этом, как видно из формулы (7.17), чем больше значение x0 тем больше скорость фильтрации w. Отсюда вытекает, что граница раздела в точке В будет двигаться гораздо быстрее, чем в точке А, и обводнение галереи начнется именно по линии ВВ', в то время как контур нефтеносности по другим линиям будет еще значительно удален от галереи. Из этого примера следует важное заключение о характере продвижения контура нефтеносности. Если на границе раздела вода нефть при разработке нефтяной залежи образовался «водяной язык», то он в дальнейшем не только не исчезает, а быстро вытягивается, продвигаясь с большей скоростью, чем остальная часть водонефтяного контакта.

Физические  представления и математическое описание процесса вытеснения одной жидкости другой

     Рассмотрим  процесс вытеснения, происходящий в  прямолинейном тонком горизонтальном образце (рисунок 6), представленном однородной и изотропной пористой средой, т.е. его  пористость m и проницаемость k постоянны. Координата х отсчитывается вдоль образца, направление течения-горизонтальное. Поперечное сечение образца (площадь сечения обозначим w) предположим достаточно малым, так что давление и насыщенность можно считать постоянными по сечениям. Давление р в водяной и нефтяной фазах считаем одинаковым в силу пренебрежения капиллярным давлением, обе фазы несжимаемы, температура постоянна.

     В рассматриваемый образец, первоначально  заполненный нефтью, через сечение  х=0 закачивается вода. В процессе вытеснения образуется зона совместного движения воды и нефти. При совместном течении двух фаз в пористой среде по крайней мере одна из них образует связную систему, граничащую со скелетом породы и частично с другой жидкостью. 

     Рисунок 6 — схема прямолинейно-параллельного вытеснения нефти водой 

     Из-за избирательного смачивания твердой  породы водой площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды  значительно превышает площадь  контакта фаз между собой. Это  позволяет считать, что основной вклад в сопротивление движению дает взаимодействие каждого флюида с твердым скелетом пласта, и в первом приближении пренебречь эффектом увлечения одной жидкостью другой. При этом, естественно, сопротивление, испытываемое каждой фазой при совместной фильтрации, отлично от того, которое было бы при течении только одной из них. Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления.

     Тогда закон фильтрации каждой фазы^* можно представить в виде обобщенного закона Дарси в дифференциальной форме:

           (3.1)

     где w_в, Q_в и w_н, Q_н — скорости фильтрации и объемные расходы соответственно воды и нефти; η_в, η_н, — коэффициенты динамической вязкости фаз; k_в(s) и k_н(s) относительные фазовые проницаемости; s=s_в — водонасыщенность.

     Для рассматриваемого двухфазного течения  водо- и нефтенасыщенность s_н связаны очевидным соотношением

     s_в+s_н=1     (3.2)

     Для вывода уравнения неразрывности  рассмотрим баланс каждой фазы как  однородной жидкости, примененный к  фиксированному элементарному макрообъему ∆V=w∆x (см. рисунок 6), содержащему обе фазы. Если за некоторый промежуток времени ∆t в объем ∆V втекает большее количество жидкости, чем вытекает, то она должна накапливаться в этом объеме, и ее насыщенность увеличивается (и наоборот). Исходя из этого и сформулируем закон сохранения массы каждой фазы.

     Так, для воды изменение массы находим  в направлении течения по оси  х, помня, что ее плотность ρ_в постоянна в силу предположения о несжимаемости. Через сечение с координатой х (см. рисунок 6) за промежуток ∆t втекает в объем ∆V масса воды ρ_вωw_в(x, t)∆t, а вытекает через сечение х+∆х масса, равная ρ_вωw_в(x + ∆x, t)∆t, так что изменение массы воды в объеме ∆V за время ∆t равно:

     

где

     ∆V/∆x = ω 

     С другой стороны, это изменение массы должно быть сбалансировано за счет изменения во времени водонасыщенности в поровом объеме m∆V:

     

     Приравняв два последних выражения, разделив обе части полученного равенства  на ρ_в∆V∆t и перейдя к пределу при ∆x→0, ∆t→0, получим:

         (3.3)

     Аналогично  выводится уравнение сохранения массы нефти:

           (3.4)

     которое в силу (3.2) можно представить в  виде

           (3.5)

     Сложив  уравнения неразрывности (3.3) и (3.5) для  обеих фаз, получим:

           (3.6)

     откуда  найдем первый интеграл:

         (3.7)

     Равенства (3.6) или (3.7) показывают, что суммарная  скорость к1 двухфазного потока (а значит, и суммарный расход фаз Q(t) не зависит от координаты х, т.е. является либо постоянной величиной, либо известной функцией времени. Это — следствие предположения о несжимаемости фаз.

     Уравнения (3.1), (3.3), (3.5) или (3.7) полностью описывают процесс вытеснения и позволяют определить неизвестные функции s(x, t), w_в(x, t), w_н(x,t) и p(x,t). Покажем, что, исключив другие зависимые переменные, можно вывести уравнение, которое содержит только водонасыщенность s.

     Исключим  градиент давления ∂p/∂x, поделив почленно одно на другое уравнения (3.1):

          (3.1)

     где введено обозначение η₀=η_в/η_н.

     Применив к (3.8) правило производных пропорций и использовав (3.7), получим

     

     Обозначив

          (3.9)

     из  предыдущего равенства найдем:

         (3.10)

     Введенная здесь функция насыщенности f(s), называемая функцией распределения потоков  фаз или функцией Бакли-Леверетта, имеет простой физический смысл. Из (3.10) следует, что f(s), представляющая отношение скорости фильтрации (или расхода) вытесняющей фазы (воды) и суммарной скорости w (или расхода Q), равна объемной доле воды в суммарном потоке двух фаз. Функция f(s), как мы убедимся в дальнейшем, играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных потоков, определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задача повышения нефтеи газоконденсатоотдачи в значительной степени сводится к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид f(s) в направлении увеличения полноты вытеснения.

     Как видно из (3.9), функция f(s) полностью  определяется относительными фазовыми проницаемостями. Типичные графики f(s) и ее производной f'(s) приведены на рисунке 7. С ростом водонасыщенности f(s) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерная особенность графика f(s) -наличие точки перегиба П с насыщенностью s_n. участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f''(s) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Бакли-Леверетта (по сравнению, например, с задачами распространения ударных волн а газовой динамике). Графики функций f'(s) и f'(s) для различных отношений коэффициентов вязкости фаз η₀=η_в/η_н приведены на рисунке 8. Подставив, теперь равенство (3.10) для и'в в уравнение (3.3), получим ,

          (8.11)

     Поскольку насыщенность есть функция двух переменных s = s(x, t), то, применяя правило дифференцирования сложной функции к слагаемому — ,что дает

     

 
 

     Рисунок 7 — зависимость объемной доли вытесняющей  фазы (воды) в потоке f(a) и ее производной (б) от насыщенности  

     Рисунок 8 — графики функции Бакли—Леверетта (а) и ее производной (б) для различных  отношений коэффициентов вязкости  η₀=η_в/η_н 

     приведем  окончательно (3.11) к уравнению 

          (3.12)

     которое является дифференциальным уравнением только относительно насыщенности. Изменение насыщенности во времени по пласту можно получить в результате решения уравнения (3.12) независимо от распределения давления р(х, t). Это уравнение известно в литературе как уравнение Бакли Леверетта по имени авторов, впервые его получивших.

     Для нахождения распределения насыщенности к уравнению (3.12) нужно добавить начальное  и граничное условия:

         (3.13)

     Первое  из условий (3.13) означает, что в момент времени / = 0 (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности s₀ вытесняющей фазы, определяемое функцией φ(x). Согласно второму условию (3.13), при t > 0 в пласт через нагнетательную галерею, расположенную на «линии» х = 0, закачивается вытесняющая жидкость (вода), насыщенность которой при х = 0 меняется со временем по заданному закону ψ(t). В некоторых случаях можно считать, что

          (3.14)

     Это-случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений. Величина начальной водонасыщенности s₀ влияет на процесс заводнения и определяет структуру зоны вытеснения. В дальнейшем для простоты будем считать суммарную скорость фильтрации w(t) (а значит, и суммарный расход Q) постоянной величиной:

     

Практическая  часть

• Задача 1

     Определить  предельный безводный дебит скважины, вскрывшей нефтяной пласт с подошвенной  водой, если R_к=200 м, радиус скважины r_c=10 см, нефтенасыщенная мощность пласта h₀=12 м, разность плотностей воды и нефти ρ_в-ρ_н=0,398 г/см³, динамический коэффициент вязкости нефти μ_н=2,54 сП. Пласт считать однородным по проницаемости (х=1), k= 1 Д.

     Задачу  можно решить по формуле Н. Ф. Иванова и по методу, предложенному И. А. Чарным при мощности вскрытой части пласта b, равной 6 м и 2 м.

     Решение: определим предельный безводный  дебит при приближённой формуле  Н. Ф. Иванова

     

     По  графикам И. А. Чарного (см рисунок 1) найдём где

       


     Рисунок 1 


     

     Как видно из рассчётов, форумла Н. Ф. Иванова даёт резко заниженный предельный безводный дебит по сравнению с предльным безводным дебитом по методу И. А. Чарного.

• Задача 2

     Определить  предельно допустимую депрессию  при отборе нефти из скважины, вскрывающей  пласт с подошвенной водой  на глубину b=12,5 м. Мощность нефтеносной  части пласта в отдалении от скважины h₀=50 м, проницаемость пласта k=0,5 Д, плотность воды ρ_н=0,7 г/см³, динамический коэффициент вязкости нефти μ_н=2 сП, расстояние до контура питания R_к=200 м, диаметр скважины d_c=21,9 см, пласт считать изотропным

     Решение: По методу И. А. Чарного определим приближённое значение безводного дебита нефти

     

     По  графику зависимости q от ρ и (см. рисунок 1) при значении ρ=4 и = 0,25 получаем

     

     и

     

     Предельно допустимую депрессию найдём из решения  Маскета о притоке к скважине гидродинамически несовершенной по степени вскрытия:

     

     здесь значение функции  (см. рисунок 2) 


     Рисунок 2

Заключение

     В ходе изучения курсовой работы я ознакомился  с теорией «Расчёта параметров вытеснения одной жидкости другой».

     Выяснил что вопросы вытеснения одной  жидкости другой являются наиболее важными, так как большинство нефтегазовых месторождений эксплуатируется при водонапорном и упруговодонапорном режиме работы залежи, а расчёт параметров вытеснения нефти водой позволяет рассчитать  дебет нефти таких залежей.

     Научился  определять предельный безводный дебет  скважин и предельно допустимую депрессию при отборе нефти из скважины, вскрывающей пласт с подошвенной водой.

     Для решения практических задач разработки нефтяных и газовых месторождений важное значение имеет прогнозирование продвижения контактов пластовых флюидов, а также контроль и регулирование динамики их перемещения. Это позволяет оптимизировать систему разработки месторождения, правильно определить число и размещение добывающих и нагнетательных скважин на месторождениях при естественных и искусственных режимах их эксплуатации.

Список используемой литературы

1. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная  гидромеханика: Учебник для вузов.- М.: Недра, 1993;
2. Евдокимова В.А., Кочина И.Н. Сборник задач по подземной гидравлике. -М.: Недра, 1979.
3. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. - М.: Гостоптехиздат, 2001.