Шпаргалка по "Физике"

для всех точек тела в любой момент времени одинаков,

Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении твердого тела

также называют соответственно вращательным и центростремительным:

8.Векторы угловой скорости и углового ускорения.

Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум

две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки,

называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между

плоскостями П0 и П , одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.

φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.

Рис. 1.3

За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой

стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями

точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности,

расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина,

называемаяугловой скоростью ω:

В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту.  

За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин).  

Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону,

откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем,

равным модулю алгебраической угловой скорости

где k – единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:

Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени

(рис. 1.4)

Рис. 1.4

Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и,

следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в

положительную сторону.  Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в

положительную сторону оси вращения Oz.

При ε <0 и ω <0 – тело вращается ускоренно  в отрицательную сторону.  Направление

векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .

Если ε <0 и ω >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторыω и 

ε направлены в противоположные стороны.

Если ε >0 при ω <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторыω и 

ε направлены в противоположные стороны.

Если угловая скорость  ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнениеравномерного вращения

φ=φ0+ωt

Если угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. 

Уравнение равнопеременного вращения

и уравнение, выражающее угловую скорость в любой момент времени

 ω=ω0+εt

представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного

движения тела.

9.Скорость и ускорение точки вращающегося тела в векторной форме.

Модуль скорости точки вращающегося тела ν = ωR = ωr sinβ  (рисунок 1.7)

равен модулю векторного произведения ω⊗r.

Рис. 1.7

Следовательно:

ν = ω×r         (формула Эйлера).

Определим ускорение точки, продифференцировав формулу Эйлера:

Первое слагаемое является касательным ускорением aτ= ε ⊗ r,  

а второе – нормальным  an = ω ⊗ (ω ⊗ r) = ω ⊗ ν.

Легко показать, что вектор   направлен по касательной к траектории

точки в одну сторону со скоростью, если вращение ускоренное, и в противополож­ную

сторону, если оно замедленное, а век­тор   направлен по радиусу к оси

вра­щения. Поэтому первый из них есть вектор вращательного, а второй –

центростреми­тельного ускорения точки:

10.Уравнение движения плоской фигуры.

Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное

и вращательное. Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение

твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных

некоторой неподвижной плоскости. 
Рассмотрим сечение тела какой-нибудь плоскостью OXY, параллельной неподвижной

плоскости П (рис. 1.56). 

 

                        Рис. 1.56                         Рис. 1.57 

При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой  ,

перпендикулярной к сечению, т.е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому

для изучения движения всего тела достаточно изучить, как дви-жется сечение тела в

плоскости OXY. В дальнейшем будем плоскость OXY совмещать с плоскостью

рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение. 
Положение сечения в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь

проведенного в этом сечении отрезка АВ (рис. 1.57). Положение отрезка АВ можно

определить, зная координаты  точки А и угол , который от-резок АВ образует

с осью x. 
Точку А, выбранную для определения положения сечения, называют полюсом.

При движении тела величины  и  будут меняться: 
 

 (1.74)

Уравнения (1.74), определяющие закон происходящего движения, называются 

уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. (уравнение движения

плоской фигуры в ее плоскости).

1 и 2 уравнения определяют то движение, которое фигура совершила бы при  =const.

3 уравнение опр. Движение, которое тело совершило бы при Xa=const и Ya = const.

Первые два уравнения характеризуют поступательную часть

движения тела,  а третье –  вращение его вокруг оси,  перпендикулярной

координатной плоскости и проходящей через точку О.  Таким образом,

плоскопараллельное движение тела можно рассматривать как совокупность

двух его движений:  поступательного вместе с полюсом О и вращательного

вокруг полюса

Плоскопараллельное движение можно представить состоящим из поступательного

и вращательного движений. Сечение тела (рис. 1.58) можно переместить из одного

положения в другое, переместив сначала поступательно и затем повернув на угол  

вокруг оси, проходящей через полюс (точку А). 

 

                           Рис. 1.58                           Рис. 1.59

Следовательно, плоскопараллельное движение тела слагается из поступа-тельного

движения, в котором все точки тела движутся так же, как полюс, и из вращательного

движения вокруг этого полюса. 
За полюс можно выбрать любую точку, движение которой известно. При этом

поступательное движение зависит от выбора полюса, а величина угла по-ворота

и направление поворота от выбора полюса не зависят (рис. 1.58). 

11.Скорости точек тела в плоском движении.

Скорости точек тела при плоскопараллельном движении. 
Теорема 1. Абсолютная скорость  любой точки плоской фигуры в каждый данный

момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости  про-извольно

выбранного полюса в поступательном движении плоской фигуры и вращательной

скорости  во вращательном движении фигуры относительно полюса. 
Положение любой точки В тела можно определить равенством (рис. 1.59) 

Взяв производную от обеих частей уравнения по времени получим, 

,

где  - искомая скорость;  - скорость полюса;  -

скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при  

Таким образом 
 

 (1.75)

Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, про-ходящую через

эти точки, равны и имеют одинаковый знак (рис. 1.60). Зная, что ,

спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогда
 

Модуль и направление скорости находится построением соответствующего параллело-

грамма.

12.Мгновенный центр скоростей: док-во существования, свойства, способы

определения.

Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное перемещение фигуры

в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра.

 В соответствии с этим легко доказывается, что при плоскопараллельном движении в

каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой,

скорость которой в этот момент равна нулю. Эту точку называют мгновенным

центром скоростей (МЦС).

Мгновенный центр скоростей (м.ц.с.) –  это точка плоской фигуры,

скорость которой в каждый данный момент времени равна нулю. Эта точка

обычно обозначается через Р.

При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана:

VM=VCV+VMCV , где точка СV  выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и VCV=0 ,

то скорость любой точки определяется как скорость вращении вокруг мгновенного

центра скоростей.

Из рис. 1.5 видно, что мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения

перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, при этом всегда справедливо

соотношение 

Рис. 1.7

Рис. 1.8

здесь VB II VA

В этом случае МЦС находится в “бесконечности” , т.е

Для определения МЦС надо знать только направления скоростей каких-нибудь

2-ч точек плоской фигуры.

Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и

направление скорости какой-нибудь одной точки фигуры и направление скорости

другой ее точки.

Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени

отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от МЦС.

13. Движение точки абсолютное и относительное: задание движения, определение

скорости и ускорения.

Сложным называют движение точки по отношению к двум или нескольким системам отсчета.

На рисунке 3.1 показаны:

     - условно принимаемая за неподвижную система отсчета  O1x1y1z1;

     - движущаяся относи¬тельно неподвижной система отсчета  Oxyz;

     - точка M , перемещаю¬щаяся по отношению к под¬вижной системе отсчета.

     Движение точки  M в данном случае является сложным. Её движение по отношению к

подвижной системе отсчета называют относительным движением. 

r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

i,j,k – const, в подвижной системе отсчета.

Vr=x’(t)i+y’(t)j+z’(t)k

Ar=x’’(t)i+y’’(t)j+z’’(t)k

Движение той точки подвижной системы отсчета, в которой в данный момент находится

движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе отсчета называют переносным

движением. Движение точки M  по отношению к неподвижной системе отсчета

называют абсолютным движением. 

R=R(t)=X(t)I+Y(t)J+Z(t)K

| I | = | J | = | K | = 1

Va = X’I+Y’J+Z’K

Aa=X”I+Y”J+Z”K

14.Переносное движение точки. Скорость и ускорение точки в переносном движении.

Переносное – движение точки, совершаемое за счет перемещения подвижной системы

отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета.

Скорость той, неизменно связанной с подвижными осями точки b , с которой в данный

момент времени совпадает движущаяся точка В, называют переносной скоростью т.В,

а ускорение этой точки b – переносным ускорением точки В.

Переносным движением точки называется движение точки пространства, жестко

связанного с подвижной системой отсчета, в которой в данный момент времени находится

тело.

   Переносная скорость точки M определится выражением 

 νe = ω ⊗ OM  или  νe = ω ⋅ OM, т.к. ω ⊥ νe

и направлена перпендикулярно OM в сторону вращения диска.

 Угол  между νe и  νr равен, в данном случае, 90° и модуль абсолютного ускорения

определится формулой 

 Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает

вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

  ae = aeвр  ⊕  aeцс            ,

где  aeвр= ε⋅ OM  - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно

отрезку OM ;

       aeцс= ω2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

    Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

aC = 2 ωe  ⊗  νr          ,

 где  ωe - переносная угловая скорость,

        νr  - относительная скорость точки.

    Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения

или по правилу Жуковского.

    Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

         aC = 2 ωe  νr  sinα      ,

где  α  – угол между векторами ωe  и νr  .

15.Теорема сложения скоростей в сложном движении точки.

Для установления связи между скоростями точки в двух системах отсчета воспользуемся

следующими векторными равенствами (см. рис. 1.73):

 (1.79)
 (1.80)
 (1.81)

Поскольку при определении относительной скорости можно "забыть" о переносном

движении, т.е. считать оси о1х1у1z1 неподвижными, продифференцировав равенство

(1.80) в этом предположении, найдем

 (1.82)

Таким образом, относительная скорость точки в сложном движении оп-ределяется

обычными методами кинематики точки для неподвижных систем координат.
При определении переносной скорости исключаем относительное движе-ние, т.е.

полагаем | | = const. Продифференцировав векторное равенство (1.80) в этом

предположении, найдем

Учитывая, что = - скорость начала подвижной системы координат, а

  , где  - угловая скорость переносного

движения системы, окончательно получаем

 (1.83)

Формула (1.83) определяет вектор переносной скорости точки в общем случае свободного

переносного движения. В частных случаях переносного движения формула (1.83)

упрощается, например при поступательном переносном движении = 0, а при

вращательном переносном 

 

Абсолютную скорость точки найдем, продифференцировав по времени векторное

равенство (1.81)
 

Учитывая, что  а также равенства (1.82) и

(1.83), получаем