Шпаргалка по "Физике"

1.Способы задания движения точки.

Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение

материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы

и действующих на них сил.

Движение точки считается заданным, если существует зависимость,

позволяющая определить положение точки в пространстве в

произвольный момент времени, эта зависимость называется законом

движения. Способы задания движения: (1) Естественный –

используется. Если известна траектория движения, уравнение

движения точки по этой траектории, начало отсчёта и

положительное направлении движения.  S=S(t) – угловая координата.

(2) Векторный – положение описывается радиус-вектором

проведённым из некоторой неподвижной точки.  r=r(t) уравнение

движения при векторном способе. Траектори в данном случае является

гадографом радиус-вектора. (3) координатный – положение точки

задаётся зависящими от времени дифференцируемыми функциями

координат.  X=x(t) y=y(t) z=z(t). y=f(x) – уравнение траектории.

2.Скорость точки при векторном, координатном и естественном способах

задания движения.

Скоростью точки называется кинематический параметр, характеризующий быстроту

изменения положения точки в системе отсчета с течением времени.

-)Скорость точки при векторном способе задания

движения:

Пусть движение точки относительно тела отсчета задано ее радиус-вектором r(t). Тогда,

по определению, скоростью точки будет векторная производная радиус-вектора r по

скалярному аргументу - времени t:

На рис. 59 изображено как определяется

скорость точки.

За приращение времени Δt точка переместилась по траектории из положения M в

положение M1, а радиус-вектор получил приращение Δr. Когда Δt  0, точка M1  M,

а вектор Δr, направленный по хорде MM1, стремится занять положение касательной к

траектории. Поэтому вектор скорости V будет направлен, согласно выражению (1), вдоль

касательной к траектории в точке M в сторону движения точки.По определению, вектор

скорости является скоростью точки в данное мгновение времени или мгновенной

скоростью. Средней скоростью за промежуток времени Δt называется отношение Δr/Δt.

Размерность скорости - м/с (метр в секунду), внесистемными единицами скорости могут

быть см/с(сантиметр в секунду), км/час(километр в час) и т.д.

-)скорость точки при координатном способе:

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат Oxyz, которую считаем

неподвижной, и известны кинематические уравнения движения точки: x = x(t); y = y(t);

z = z(t). Используя равенство (5) в п. 26, по формуле (1) выражаем скорость точки:

Так как система координат Oxyz неподвижна, ее единичные векторы i,j,k постоянны

(не меняют ни величину, ни направление), то слагаемые, содержащие производные этих

векторов, равны нулю и

Проекциями вектора скорости на оси координат являются сомножители перед

единичными векторами, следовательно,

Зная проекции скорости на оси координат, можно определить величину вектора скорости:

Направление вектора скорости определяется тремя направляющими косинусами:

Формула (9) позволяет не только определить скорость аналитически, но и построить

вектор скорости геометрически. По этой формуле вектор скорости можно представить

как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих:

Где

Геометрически сложив составляющие, найдем вектор скорости. При построении

составляющих по формулам (21) нужно учитывать: 1) если производная координаты

положительна, то направление составляющей совпадает с направлением единичного

вектора координатной оси; 2) если производная отрицательна, составляющая направлена

в противоположную сторону.

-)скорость при естественном способе задания:

Рассмотрим вектор dr / ds. Согласно формуле (14), этот вектор направлен по касательной

к траектории, так как скорость направлена по касательной, а так как при Δs  0 предел

отношения длины дуги |Δs| к длине ее хорды MM1 = Δr (рис. 61) равен единице, то по

модулю он равен единице. Следовательно,

где  является единичным вектором касательной

к траектории в точке M.Вектор  всегда направлен в сторону возрастания дуговой

координаты. На рис. 61 показан случай, когда Δs > 0 (дуговая координата точки больше

координаты точки M1). Сам вектор Δ/Δs направлен в сторону вектора Δ, в сторону

положительного отсчета дуги. Когда Δs < 0 , точка M1 будет находиться ближе к началу

отсчета, чем точка M.

3.Ускорение точки при векторном, координатном и

естественном способах задания движения.

Векторный способ:

Ускорением точки называется кинематический параметр, характеризующий быстроту изменения

скорости с течением времени.Ускорение точки при векторном способе задания движения.По

определению ускорение является производной по времени от вектора скорости:

Когда Δ  0, точка M1 

 M; плоскость, где лежат

векторы (t), (t + Δt) и (Δt), содержащая две касательные к траектории в точках M и M1

(рис. 62), стремится занять положение соприкасающейся плоскости в точке M; сам вектор

направлен в сторону вогнутости траектории.Таким образом, вектор ускорения a лежит в

соприкасающейся плоскости и всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Очевидно,

что a 

является ускорением в данное мгновение времени или мгновенным ускорением, а средним

ускорением за промежуток времени Δtназывается отношение ΔV / Δt. Соответственно,

размерностью ускорения будет м / с2 (метр за секунду в квадрате).

Координатный способ:

Пусть движение задано в прямоугольной системе координат Oxyz, которую мы принимаем за

неподвижную, и нам известны законы изменения координат точки: x = x(t); y = y(t) ; z = z(t).

Согласно выражению (1), дифференцируем по времени формулу (17) в п. 27, учитывая, что

единичные векторы осей координат постоянны:

Проекциями вектора ускорения на оси координат являются сомножители перед единичными

векторами в равенстве (2), следовательно,

Зная проекции ускорения на оси координат, можно определить величину вектора ускорения:

Направляющие косинусы, определяющие направление вектора ускорения в системе координат,

будут равны

Формулу (2) можно использовать для геометрического построения вектора ускорения.

Представляя вектор ускорения как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих

Где

а затем геометрически сложив их, найдем вектор ускорения. При построении составляющих

по формулам (7) нужно учитывать знаки вторых производных координат точки. Если они

положительны, то направления составляющих совпадают с направлениями единичных

векторов, если они отрицательны, то составляющие направлены в противоположную сторону.

Естественный способ:

Вектор ускорения a точки лежит в соприкасающейся плоскости P n и определяется двумя проекциями

  и an (ab = 0):

проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от алгебраической скорости или

второй производной от криволинейной координаты точки по времени:

 = d / dt = d2s /dt2 или  =  =  .

проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны

траектории в данной точке кривой:

an = v2 /  .

Величины  и an соответственно называют касательным и нормальным ускорениями точки.

Вектор ускорения a является векторной суммой касательной составляющей  , напраленной

вдоль касательной P , и нормальной составляющей an, направленной вдоль главной нормали Pn:

a =  + an.

При этом составляющая  может быть направлена или в положительном, или в отрицательном

направлении оси P в зависимости от знака проекции  , а составляющая an будет всегда направлена 

в сторону вогнутости кривой, так как проекция an  0.

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора a определяется по формуле:

a = ( 2 + an2 ) .

Рассмотрим теперь геометрическую характеристику траектории точки, называемую радиусом кривизны

  .

Радиус кривизны кривой в какой-либо ее точке равен радиусу окружности, которая наилучшим образом

аппроксимирует по сравнению с другими окружностями участок кривой из малой окрестности

рассматриваемой точки. Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной кривой

 k = 1 /  в данной точке.

В частности, для окружности радиус кривизны одинаков во всех ее точках и равен ее радиусу:  = R

(кривизна окружности k = 1 / R); для прямой радиус кривизны  =  (кривизна прямой k = 0).

Рассмотрим условия, при которых касательное и нормальное ускорения обращаются в нуль.

Касательное ускорение равно нулю, если  = d / dt = 0. 
Это условие выполняется, если все время v = |  | = const, то есть при равномерном движении точки по

траектории любой формы. 
Касательное ускорение обращается в нуль также в те моменты времени, в которые алгебраическая

скорость  достигает экстремума, например максимума или минимума.

Нормальное ускорение равно нулю, если an = v2 /  = 0. 
Это условие выполняется, если  =  , то есть при прямолинейном движении точки. При движении

точки по криволинейной траектории  =  в точках перегиба, в которых происходит изменение

выпуклости траектории на вогнутость, и наоборот. 
Нормальное ускорение обращается в нуль также в моменты времени, в которые v = 0, то есть в

моменты изменения направления движения точки по траектории. 

4.Поступательное движение твердого тела: задание движения,

скорость и ускорение.

Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая,

связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.

Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы,

движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров,

движение кабин колеса обозрения относительно Земли

еорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения

точек тела одинаковы.

Доказательство. 

Если выбрать две точки твердого тела А  и В  (рисунок 1.2), то радиусы-векторы этих точек

связаны соотношением

Траектория точки А  – это кривая, которая задается функцией rA(t), а  траектория точки B –

это кривая, которая задается функцией rB(t). Траектория точки B получается переносом

траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и

направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела

одинаковы.

Продифференцируем по времени выражение

Получаем

Рис. 1.2

Продифференцируем по времени скорость и получим выражение aB = aA. Следовательно,

скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной

из его точек:

5.Уравнение движения твердого тела во вращательном движении вокруг неподвижной

оси.

Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные

точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения.

Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П0 и П , одна из которых

неподвижна, а другая жестко связана с телом.

 φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.

Рис. 1.3

За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки,

если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при

его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях,

перпендикулярных оси вращения.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его

движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу(или неизменно связанные

с ним), остаются во все время движения неподвижными.

6. скорость и ускорение тв. тела во вращательном движении.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины

: φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε

(угловое ускорение в рад/сек2).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением 
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в

общем случае как производная угла поворота по времени 
ω = dφ/dt = f' (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости,

определяется как производная угловой скорости 
ε = dω/dt = f'' (t).

Так как траектории точек вращающегося тела – окружности, при определении скорости

и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения (рисунок 1.5).

Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом

поворота равенством: s = φR . Отсюда:

Рис. 1.5

Скорость ν = νττ еще называют линейной или окружной скоростью. Она направлена

по касательной к траектории движения точки.

Ускорение (рисунок 1.6) определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

модуль ускорения

Рис. 1.6

Угол α, образованный вектором ускорения точки с радиусом окружности OM,