Характеристика электрических цепей постоянного тока

где m - число резистивных элементов; п — число ЭДС в контуре.

В (1.7) со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные  направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура 1, показанного штриховой линией на рис. 1.11, допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (1.6), но не в виде (1.7).

Второй  закон Кирхгофа (1.6) является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности  электрического поля вдоль любого замкнутого контура длиной / в безвихревом  поле § Јdl =0. Например, для контура 1 на рис. 1.11 по (1.6)

для контура 2 по (1.7)

В частном случае в  контур может входить  только одна ветвь  цепи, так что он замыкается вне ветвей цепи (рис. 1.12). В этом случае согласно (1.7)

откуда

Уравнение (1.8) выражает обобщенный закон Ома для любой ветви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопротивлением г и ЭДС Е или отдельного участка этой ветви с параметрами г 'и Е.

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ  ЗАКОНА ОМА   И ЗАКОНОВ   КИРХГОФА ДЛЯ  РАСЧЕТОВ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В общем случае схема  замещения цепи имеет  В ветвей, из которых Bj ветвей содержат источники тока и У узлов.

Рассмотрим  сначала расчет режима в цепи без источников тока, т. е. при Bj = 0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У — 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа пК=В-У+1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются   независимыми.

Число независимых уравнений  по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов потому, что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.

В качестве примера  рассмотрим расчет цепи, схема замещения которой показана на рис. 1.13 и которая содержит У = 2 узла и В = 3 вет-

Рис. 1.13

ви, т. t. К - В - У + 1 =3 — 2 + 1 = 2 независимых контура (/ и 2, или / и 3, или   2 и 3).

Произвольно выбираем положительные  направления токов  ветвей Л, h, h- По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У — 1 = = 2 — 1=1) независимое уравнение, например для узла а

и по второму закону Кирхгофа — два  (К - 2) независимых уравнения, например для контура 1 п 2

Решение системы трех уравнений (1.9) с тремя неизвестными токами, например методом подставок, определяет токи ветвей 1_Х, 1₂, /₃.

Систему алгебраических уравнений  сложной цепи, составленных на основе законов  Ома и Кирхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, для  схемы замещения  без источника тока удобно воспользоваться матричной формой

где А и В — квадратные матрицы коэффициентов  при токах и  ЭДС порядка В х В, где В — число ветвей; 1 и Е - матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Элементы  матрицы А и  В являются коэффициентами в уравнениях (1.10) соответственно при токах и ЭДС. Отсутствие тех или иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями «нуль» соответствующих элементов матриц.

Реше  ние системы (1.10):

где

(1.116)

- обратная матрица;  Д и А-_к - определитель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов   a_if[;

- матрица так называемых  собственных g_u  и взаимных g_ik проводимо стей.

Токи  ветвей:

Форма записи системы  уравнений  (1Л2)  предполагает, что  направления ЭДС и положительные  направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (1.9) в матричной форме

или

определяет токи ветвей;

где

Математическое  обеспечение современных ЭЗМ  имеет стандартные подпрограммы решения системы алгебраических уравнений в матричной форме.

При расчете схем замещения с источниками тока возможны упрощения. Действительно, токи В,   ветвей с источниками тока известны.

Поэтому число  независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить  уравнения по второму закону Кирхгофа, равно   К= В ~ Bj- У+ \.

При помощи законов  Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической  цепи. Однако порядок системы уравнений  может быть большим. Для упрощения  вычислений применяют различные  расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т. д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.

1.9. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  СХЕМ

В ряде случаев  расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения  заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.

А. Смешанное  соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему части схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.

Для расчета  такой цепи удобно преобразовать  ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов. Например, в цепи на рис. 1.14, а между узлами а и Ъ включены три резистивных элемента с сопротивлениями r_2t r₃ иг₄, т. е. про води мостя ми g₂ = 1/^2» £з ⁼ 1/^з* #4 ⁼ 1/^4; эквивалентная проводимость

После   замены  параллельного   соединения   резистивных  элементов эквивалентным  резистивным элементом с сопротивлением г    = Ijg получается   эквивалентная   схема   с   последовательным соединением двух резистивных элементов   г,   и  г_э   (рис. 1.14,5).

Ток в не разветвленной  части

и токи в параллельных ветвях

где

Б. Соединение резистивных  элементов по схеме  звезды и треугольника. В общем случае схему замещения цепи по схеме /i-лучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде w-стороннего многоугольника. Обратное преобразование возможно в ограниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трехлучевой звезды. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока  (см. гл. 3).

Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис. 1.15) получается приравниванием значений сопротивлений или проводимо-стей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.

Найдем сопротивление  между узлами Аи В.

Проводимость  между узлами А и В для схемы треугольника на рис. 1.15, дг

Сопротивление между узлами А и В - величина, обратная проводимости между этими узлами, т. е.

Рис. 1.15

Для схемы звезда на рис. 1.15,6 сопротивление между  теми же узлами А и В равно сумме сопротивлений двух ветвей: г_А +  г_д. Согласно условию эквивалентности должно выполняться равенство

здесь

-сумма  сопротивлений всех  ветвей для треугольника.

Структуры треугольника и звезды по отношению к  узлам симметричны. Поэтому уравнения  равенства сопротивлений  между узлами В и С и между узлами С и А можно получить из (1.17) простой циклической перестановкой индексов:

Чтобы определить сопротивление г_А звезды, сложим (1.17) и (1.19) и вычтем из этой суммы (1.18);   разделив  последнее  на  2, найдем

Сопротивления других ветвей звезды получим  путем  циклической перестановки индексов:

В случае равенства  сопротивлений ветвей треугольника (г_АВ = г_вс = = г_СА  = Гд)  сопротивления ветвей

эквивалентной   звезды  тоже одинаковы:

Возможно  обратное преобразование звезды из резистивных  элементов  в  эквивалентный  треугольник. Для  этого перемножим попарно выражения  (1.20) — (1.22)    и   сложим полученные произведения:

Последнее уравнение разделим на  (1.22)   и  определим сопротивление  ветви треугольника:

Путем циклической перестановки индексов в  (1.24)  найдем выражения  для сопротивлений  двух других ветвей:

Примером  упрощения расчетов может служить преобразование мостовой схемы соединения резистивных элементов (рис, 1.16, а). После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис. 1.16, б) можно рассматривать как смешанное соединение резистивных элементов.

1.10. МЕТОД УЗЛОВЫУ ПОТЕНЦИАЛОВ

Метод узловых потенциалов  позволяет уменьшить  число совместно  решаемых уравнений  до У — 1, где У - число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:

1) один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2) для остальных У - 1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;

3) решением составленной системы уравнений определяем потен-

циалы У - 1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (Ь8).

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 1.17, содержащей У = 3 узла. Узел 3 принимаем базисным, т. е. <^з =0. Для узлов 1 и 2 уравнения по первому закону Кирхгофа:

узел  1

узел  2

где

т. е. после подстановки

или в матричной  форме

Решение системы уравнений (1.27а) методом подстановок или (1.276) численным методом на ЭВМ определяет потенциалы узлов ifix и^,а следовательно, и токи ветвей по (1.8).

Из записи (1.27) о^чевиД^ен принцип составлений уравнений по методу узловых потенциалов. В левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положителен и равен сумме прово-димостей сходящихся к нему ветвей. Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассматриваемым узлом, отрицательны и равны» про-водимостям соответствующих ветвей.

Правая часть  уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками  токов и токов короткого замыкания  ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые  берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).