Синергетика

    Для того, чтобы охватить в единой логической схеме весь круг задач, целесообразно указать меру размытости, обладающую следующими свойствами:

    Во-первых, она должна быть конечной, но достаточно малой такой, чтобы при решении устойчивых задач ею всегда можно было бы пренебречь.

    Во-вторых, в неустойчивых процессах эта мера должна приводить к полной размытости результата. Это позволяет использовать в таких случаях традиционный вероятностный подход.

    С учетом этих замечаний аксиоматику конструктивной логики можно сформулировать в следующем виде.

(1) В каждой задаче должна быть сформулирована цель. Бесцельные задачи квалифицируются как бессмысленные и рассмотрению не подлежат. В этом смысле целесообразная логика перекликается с релевантной. (В недрах чистой науки (в частности, математики) задачи часто ставятся ради удовлетворения любопытства, развлечения, игры ума или упражнения, что также можно рассматривать как цель. (в эволюционном плане это оправдано)

2. Любой расчет (или алгоритм) следует рассматривать как процесс, организованный во времени, т.е. проводящийся поэтапно. Это позволяет поставить и решить вопрос об устойчивости и/или сходимости в рамках классической математики.
3. Как и в классической логике, каждому суждению соответствует «0» или «1», но они рассматриваются не как символы а как числа, близкие либо к 0, либо к 1, например, 0,000 ... abc или 1,000 … def, где a,b,c и d,e,f — случайные числа от 0 до 9. Это положение напоминает "fuzzy logic", но, в отличие от последней, требуется, чтобы «размытость» была мала, порядка «обратный гугол».
4. Если процесс устойчив и сходится к определенному результату, то автоматически сохраняется аксиоматика классической логики (и математики). В этом случае сложное суждение будет «размыто» в ту же меру, что и исходное. Наблюдать такую «размытость» в принципе невозможно.
5. Если процесс неустойчив, то малая «размытость» исходных суждений приводит к большой (порядка единицы) размытости «сложного» суждения. В результате суждение, «истинное» или «ложное» в рамках классической логики, оказывается ни тем, ни другим, а просто «не целесообразным» (бессодержательным). В математике это ведет к серьезным последствиям, поскольку ряд теорем при этом теряют силу.

(6) Если процесс построения суждения не сходится, то его следует установить на любой итерации порядка гугол.

(7) Целесообразными следует считать средние характеристики ансамбля результатов расчетов неустойчивых и/или не сходящихся процессов. Усреднение проводится по результатам расчетов, отличающихся выбором произвольного числа порядка гугол (или обратный гугол). Результаты расчета каждого отдельного процесса являются не целесообразными. Динамика средних характеристик устойчива по определению среднего и расчет ее подпадает под п. (4).

    В рамках этого алгоритма отсутствуют  противоречия и неоднозначности, характерные для классического подхода.

    Проблема  Буриданова осла в рамках целесообразной логики решается просто. Ясно, что положение осла не устойчиво. Согласно п. (3), надлежит рассмотреть ансамбль ослов, расположенных не точно между стогами сена, а в интервале порядка гугол. Согласно п. (7), целесообразным является вопрос: как распределятся ослы в пространстве. Ответ ясен: они разделятся на две равные группы, и одни пойдут направо, а другие — налево. Такое поведение ослов целесообразно, если их цель — не умереть с голоду. Вопрос: куда пойдет каждый отдельный осел ставить не целесообразно. В рамках классической математики при точно заданных начальных условиях, осел останется стоять на месте и умрет. Такое поведение не целесообразно даже с точки зрения осла.

    Парадокс лжеца, напомним, состоит в следующем: привратник имеет приказ: правдивым людям рубить голову, а лжецов вешать. Предполагается, что правдивый всегда говорит правду, а лжец всегда лжет.

К городу подходит путник. Привратник вопрошает: «кто ты, правдивый человек или лжец?». Путник отвечает: «я лжец». Что должен сделать привратник?

    В рамках классической логики задача решения  не имеет, потому и отнесена к разряду парадоксов.

    В рамках трехзначной логики любое  решение лишено смысла.

    В рамках релевантной логики сама задача относится к числу запрещенных.

    В рамках целесообразной логики решение  состоит в следующем.

    В отличие от предыдущего случая, промежуточное  состояние исключено, а не просто не устойчиво. Каждое из разрешенных состояний («правдивый» и «лжец») не только не устойчиво, но и не стационарно. Процесс принятия решения состоит из последовательности итераций, каждая из которых приводит к противоположному результату. Этот процесс не является сходящимся. В рамках классической математики такой процесс представляет собой отображение предельного цикла Пуанкаре. Сам цикл устойчив, но фаза цикла неустойчива и может быть выбрана произвольно. В данном случае разрешенные состояния соответствуют противоположным фазам цикла. Таким образом, процесс не соответствует п. (4), но подпадает под п. (6).

    Согласно (7) следует усреднить результаты по ансамблю итераций. Усредненный результат можно сформулировать в виде: данный путник в меру лжив и в меру правдив (что, кстати, можно отнести ко всем нормальным людям).

    Если  цель — определить моральный облик путника, то такой ответ следует считать целесообразным. Напротив, результат любой конкретной итерации (путник либо лжив, либо правдив) следует считать не целесообразным и не применять по отношению к нему упомянутых санкций.

    Когда же путник отвечает «я всегда говорю правду», то данный случай подпадает под п. (4). Процесс принятия решения быстро сходится к результату: путнику надлежит отрубить голову. Такое решение логически безупречно. Кроме того, оно целесообразно, поскольку человек, который всегда говорит правду, социально опасен.

    На  этих примерах видно, что в устойчивых ситуациях классическая и целесообразная логика не вступают в противоречие.

    Обсудить  проблему «стрелы времени».

    В гамильтоновых системах выбор знака  времени произволен. При описании устойчивых процессов этот произвол роли не играет, поскольку эти процессы обратимы.

    В глобально неустойчивых процессах  будущее отличается от настоящего и прошлого, и это отличие реально, поскольку эти процессы необратимы. Однако и в этих условиях выбор знака времени произволен и делается по общему согласию, т. е. условно.

    Можно выбрать знак времени так, что  в будущем оно будет более  положительным, чем в настоящем (назовем таких людей оптимистами, тоже условно). Именно так считают все люди на нашей планете, и потому эта условность воспринимается как объективная реальность.

    Можно представить себе людей, столь же разумных, но живущих на другой планете (или на Земле, но в другом демографическом изоляте), которые выбрали противоположный знак времени. Иными словами, они сочли, что в будущем время будет более отрицательным, чем в настоящем (в этом тоже есть свой резон, назовем таких людей пессимистами). В обоих социях люди наблюдают одинаковые явления и описывают их одинаково, с точностью до знака времени.

    Что происходит. при обмене информацией  между ними? Можно представить себе несколько вариантов.

1. Люди сообщают друг другу, что в будущем энтропия возрастает. Это объективная реальность и здесь вопросов не возникает.
2. Люди посылают друг другу неравенство Больцмана, одни в форме: dS/dt > 0 и другие — в форме: dS/dt < 0. Тут возникает вопрос: кто же прав?
3. Люди посылают друг другу киноленты с изображением пожара и в сопроводительном письме указывают, где начало (настоящее) и где конец (будущее). Проблем не возникает, поскольку пожар везде протекает одинаково.
4. Люди посылают друг другу киноленты и указывают, что кадры следует расположить в порядке возрастания (или убывания) времени, так, как это принято в каждой из соций. Тогда люди в другой соции с удивлением наблюдают, что у соседей пожар протекает необычно: дым не расползается, а собирается, разгоревшийся пожар сам затухает, а дом сам собой восстанавливается в прежней красе. Иными словами, время у соседей течет в обратную сторону.

Здесь следует отметить, что изображение  неустойчивого процесса на киноленте существенно отличается от самого процесса. Фиксация пожара в каждый момент времени на кинопленке — процесс устойчивый, это основное условие запоминания информации. Демонстрация фильма в любой последовательности кадров тоже процесс устойчивый — так устроен кинопроектор. Поэтому демонстрация фильма — процесс обратимый и этим часто пользуются кинорежиссеры. Таким образом, свойства самого процесса (пожара) и его изображения на киноленте в этом смысле существенно отличаются.

    Что произойдет, когда люди, обменявшись  информацией и не поняв друг друга, решат встретиться? Произойдет борьба информации, вплоть до ликвидации друг друга. В результате одна условная информация вытеснит другую и станет общепринятой. После этого все люди будут считать, что время в будущем возрастает (или убывает, в зависимости от того, кто оказался сильнее) и полагать, что это и есть истина.

    В рамках формальной логики сделать выбор  из равноправных вариантов (т. е. генерировать информацию) невозможно. Утверждение о том, что время в будущем возрастает (равно, как и противоположное) нельзя ни доказать, ни опровергнуть В сущности, эта ситуация — один из примеров действия теоремы Гёделя.

    В рамках целесообразной логики ценность выбора определяется тем, какая именно условная информация будет принята (или уже принята) в данном обществе. Иными словами, выбор знака времени — пример генерации условной информации, ценность которой возрастает (или убывает) со временем, в зависимости от того, какой вариант становится принятым в обществе.

    Таким образом, проблема стрелы времени имеет  два аспекта.

    Во-первых, сама стрела связана с необратимостью процессов. Последнее имеет место в глобально неустойчивых системах, как в классических, так и в квантовых. Это утверждение содержит безусловную информацию.

    Во-вторых, направление стрелы, т. е. выбор знака  времени содержит условную информацию. Процесс выбора знака времени не имеет отношения к физическим явлениям, а, скорее, относится к социальным.

    Из  этого примера видно, сколь важно  отличать условную информацию от безусловной, особенно, когда речь идет о математическом описании реальных процессов.

    Все сказанное выше можно изложить на языке теории распознавания.

    Любая логика, точнее алгоритм, построенный  на ее основе, представляет собой решающее правило, построенное на определенном обучающем множестве. Любой алгоритм формулируется на определенном языке и в силу этого условен, в ту же меру условна и логика.

    Формальная (математическая) логика — решающее правило, построенное на обучающем множестве устойчивых динамических процессов. Она сформулирована на языке современной математики. Цель распознавания — прогноз поведения объектов из экзаменуемого множества, что возможно, если последнее совпадает с обучающим.

    Множество устойчивых динамических систем достаточно широко. Прогнозирование их поведения на основе формальной логики оказалось достаточно эффективным. Но формальная логика, как решающее правило, не зависящая от целей "распознавания, свойств обучающего множества и условностей кода - заблуждение, лежащее в основе парадоксов формальной логики.

    Принцип исключенного третьего означает, что  отказ от распознавания ни в каком случае невозможен. Это условие не может выполняться ни в каком реальном экзаменуемом множестве.

    Конструктивная  логика — решающее правило, построенное на том же множестве устойчивых динамических систем. В отличие от формальной логики, в ней допускается отказ от распознавания.

    В рамках теории распознавания отказ  от ответа означает, что необходимо расширить пространство признаков. Однако это утверждение относится, скорее, уже к целесообразной логике.

    Множество неустойчивых динамических систем существенно  отличается от множества устойчивых. В нем классификация может быть проведена в другом пространстве признаков и распознавание преследует иные цели.

    Целесообразная логика в этом множестве не только констатирует бессмысленность утверждений формальной логики (что возможно и в рамках конструктивной логики), но и позволяет перейти к другому решающему правилу. Эту роль здесь играет термодинамика (точнее, статистическая физика). Важно, что язык, на котором формулируется это правило — математика — сохраняется. Изменяются лишь смысл символов, связь их с наблюдаемыми величинами и оценка значимости результатов. Иными словами, меняется физическая аксиоматика и постановка задачи.

    Таким образом, целесообразную логику можно  рассматривать как пример интеграции информации, поступающих из разных обучающих множеств.