Моделирование как метод научного познания

Роль математического образования в экономике

К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №4 - 2005

 
Авторы: Зимановская А.А., Бердибеков А.Б.

XXI век можно назвать веком бурного проникновения математических методов в самые различные науки, в том числе, в экономику, информатику, теорию управления и менеджмент.

Роль математики прекрасно осознавал  Галилей, сказавший: "Философия написана в грандиозной книге – Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики".

Замечательно, что еще Леонардо да Винчи понимал значение и роль математики при изучении природы. Он писал: "Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства". Далее он отмечал, что "никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой". А основоположник традиционной экономической теории Вильфредо Парето считал, что «Не пользующаяся математическими символами человеческая логика запутывается в словесных определениях и делает ошибочные выводы. И вскрыть эту ошибку за музыкой слов стоит огромного труда и бесконечно бесплодных споров». Выдающийся академик, экономист Пол Самуэльсон, один из первых лауреатов Нобелевской премии по экономике, говорил, что экономика стала наукой лишь с приходом в неё математических методов. Более того, многие отрасли математики обязаны своим возникновением экономике.

Математика дает людям мощные методы изучения и понимания окружающего  мира, методы исследования как теоретических, так и чисто практических проблем.

Во все времена математика имела  бесспорное культурное и практическое значение, играла важную роль в научном, техническом и экономическом  развитии. Владеющие математикой  всегда составляли стратегический ресурс нации. В настоящее время, в связи  с возросшей ролью математики, необычайно большое число будущих, экономистов, программистов, организаторов современного производства нуждается в серьезной математической подготовке, которая давала бы возможность математическими методами исследовать широкий круг новых проблем, применять современную вычислительную технику, использовать теоретические достижения в практике.

Переводя экономическую, транспортную, управленческую или любую другую задачу на математический язык, современный  специалист получает возможность использовать для ее решения все разнообразие и богатство средств математики. Результаты, полученные с помощью математических методов экономико-математического анализа, позволяют подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу, построить прогноз, составить оптимальный план функционирования практически действующего объекта.

Сегодня намечается поворот к новым  сферам применения математических методов  в подготовке крупных социальных решений, определяющих будущность нашего государства: планирование, планировка застройки районов, пути сообщения, модернизация сельскохозяйственных предприятий и т.п. Этому в значительной степени способствуют быстродействующие вычислительные машины. Они применяются не только там, где это делалось издавна (например, в механике, физике), но и там, где несколько десятков лет тому назад об этом не было и речи (в экономике, менеджменте, управлении и т.д.).

Общемировые интеграционные процессы в науке и производственно-экономической  сфере с необходимостью потребовали  качественно новых руководителей производства, что, в свою очередь, вынудило провести критический анализ всей структуры подготовки кадров. Был провозглашен переход от подготовки "узких специалистов" к подготовке широко образованных личностей.

В новых условиях работы для того, чтобы поддержать свою квалификацию на нужном современном уровне, от каждого специалиста требуется своевременное пополнение математического образования. В системе образования стал необходимым перенос акцентов с накопления репродуктивного знания на формирование личности, владеющей технологией творческого труда и способной не только усваивать готовые знания, но и генерировать новые.

Внедрение вычислительной техники  и математического моделирования  в экономику, управление, менеджмент повысило требования к прикладной направленности курса математики в вузах. Если за годы учебы в высшем учебном заведении студент получил правильное общее представление о том, что такое математика, в чем заключается математический подход к изучению реального мира, как его нужно применять и что он может дать, приобрел прочный фундамент знаний и необходимую математическую культуру, развил в себе умение и способность самостоятельно пополнять свое образование, то, владея основными понятиями, лежащими в основе нужной ему теории, и имея необходимую базу навыков для овладения ею, он легко приобретет и требуемые дополнительные знания.

Важным качеством специалиста  исследователи считают умение творчески  подходить к решению возникающих  перед ним задач. При всем многообразии смыслов этого термина, творческий подход может означать построение нужной математической модели и ее изучение. Элементы обучения творческому подходу к решению задач, связанных, в первую очередь, с профилем будущей специальности студента, воспитание вообще творческой инициативы, должны занимать существенное место в процессе обучения математике. Однако обучение математике нельзя подменить обучением ряду приложений и методов, не разъясняя сущности математических понятий и не учитывая внутреннюю логику самой математики. Таким способом подготовленные специалисты могут оказаться беспомощными при исследовании новых конкретных явлений, поскольку будут лишены необходимой математической культуры и не приучены к рассмотрению абстрактных математических моделей. Следовательно, содержание общего курса математики не может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности студентов, без учета внутренней логики самой математики и разумной строгости изложения материала.

Цель обучения математике – приобрести определенный круг знаний, уметь использовать изученные математические методы, развить математическую интуицию, воспитать математическую культуру. Правильно поставить задачу, оценить и выделить наиболее существенные данные, выбрать способ ее решения позволяет математическая смекалка, фантазия и чувство гармонии, позволяющие предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью; интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения.

Современное преподавание математики должно быть, по возможности, простым, ясным и наглядным. При этом студенты усваивают идею и метод исследования, которые лежат в основе изучаемого вопроса или класса задач. Постоянно поддерживается интерес к математике. Роль математического образования возрастает и в связи с тем, что выпускники технического вуза в пределах своей специальности должны:

1) уметь строить математические модели;

2) уметь ставить математические  задачи;

3) уметь выбирать подходящий  математический метод и алгоритм  для решения задач;

4) уметь применять для решения  задач численные методы с использованием  современных вычислительных машин;

5) уметь применять качественные математические методы исследования;

6) на основе проведенного математического  анализа уметь выбрать практические  рекомендации.

Усиление профессиональной направленности общеобразовательных дисциплин, в  числе которых и математика, означает повышение уровня фундаментальности образования будущих менеджеров, способствует развитию их математической культуры и, тем самым, дает будущему специалисту базу для создания собственной эффективной системы профессиональной деятельности. В качестве принципиальных моментов личностно-развивающего профессионально-ориентированного образования, которое сегодня необходимо студентам вуза, рассматривается:

- целостное отражение картины  будущей профессиональной деятельности  в сознании студента;

- точный выбор объема и содержания курса математических дисциплин, в соответствии с государственными стандартами;

- правильное сочетание широты  и глубины изложения, строгости  и наглядности учебного материала;

- профессиональная направленность  задач, позволяющих студенту уже с 1-го курса приобщиться к проникновению в сущность проблем его будущей специальности.

В экономических исследованиях  давно применялись простейшие математические методы. В хозяйственной жизни  широко используются геометрические формулы. Так, площадь участка поля определяется путем перемножения длины на ширину, или объем силосной траншеи - перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин.

Не стоит и говорить о применении арифметики, алгебры в экономических исследованиях, это уже вопрос о культуре исследования, каждый уважающий себя экономист владеет такими навыками. Особняком здесь стоят так называемые методы оптимизации, чаще называемые как экономико-математические методы.

В 60-е годы прошлого столетия развернулась дискуссия о математических методах  в экономике. Например, академик Немчинов выделял пять базовых методов  исследования при планировании:

1) балансовый метод;

2) метод математического моделирования;

3) векторно-матричный метод;

4) метод экономико-математических  множителей (оптимальных общественных  оценок);

5) метод последовательного приближения.

В то же время академик Канторович выделял математические методы в  четыре группы:

- макроэкономические модели, куда относил балансовый метод и модели спроса;

- модели взаимодействия экономических  подразделений (на основе теории  игр);

- линейное моделирование, включая  ряд задач, немного отличающихся  от классического линейного программирования;

- модели оптимизации, выходящие за пределы линейного моделирования (динамическое, нелинейное, целочисленное, и стохастическое программирование).

И с той, и с другой классификацией можно спорить, поскольку, например, модели спроса можно по ряду особенностей отнести к нелинейному программированию, а стохастическое моделирование уходит корнями в теорию игр. Но все эти проблемы классификации, которые имеют определенное методологическое значение, но в данном случае не столь важны.

С точки же зрения роли математических методов стоит говорить лишь о широте применения различных методов в реальных процессах планирования.

С этой точки зрения, несомненным  лидером является метод линейной оптимизации, который был разработан академиком Канторовичем в 30-е годы ХХ века. Чаще всего задача линейного программирования применяется при моделировании организации производства. Вот как, по Канторовичу, выглядит математическая модель организации производства:

В производстве участвуют M различных  производственных факторов (ингредиентов) - рабочая сила, сырье, материалы, оборудование, конечные и промежуточные продукты и др. Производство использует S технологических способов производства, причем, для каждого из них заданы объемы производимых ингредиентов, рассчитанные на реализацию этого способа с единичной эффективностью, т.е. задан вектор ak = (a1k, a2k,..., amk), k =1,2...,S, в котором каждая из компонент aikуказывает объем производства соответствующего (i-го) ингредиента, если она положительна; и объем его расходования, если она отрицательна (в способе k).

Эта задача разрешается с помощью  построения модели линейной  оптимизации. Метод линейной оптимизации с того момента, как он был разработан Канторовичем, не оставался без изменений, он развивался и продолжает развиваться.

Цель всех этих приемов - дать развернутую модель какого-либо явления из хозяйственной практики, сэкономив при этом на количестве переменных и ограничений.

Несмотря на широту применения метода линейного программирования, он учитывает  лишь три особенности экономических  задач - большое количество переменных, ограниченность ресурсов и необходимость целевой функции. Конечно, многие задачи с другими особенностями можно свести к линейной оптимизации, но это не дает нам права упустить из виду другой хорошо разработанный метод математического моделирования - динамическое программирование. По сути, задача динамического программирования является описанием многошаговых процессов принятие решений.

Кроме этих двух, достаточно детально разработанных методов, в экономических  исследованиях в последнее время стали применяться множество других методов.

Одним из подходов к решению экономических  задач является подход, основанный на применении новой математической дисциплины - теории игр.

Суть этой теории заключается в  том, что игрок (участник экономических взаимоотношений) должен выбрать оптимальную стратегию, в зависимости от того, какими он представляет действия противников (конкурентов, факторов внешней среды и т.д.). В зависимости от того, насколько игрок осведомлен о возможных действиях противников, игры (а под игрой здесь понимается совокупность правил, тогда сам процесс игры - это партия) бывают открытые и закрытые. При открытой игре оптимальной стратегией будет выбор максимального минимума выигрыша (в терминах Моргерштерна - "максимина") из всей совокупности решений, представленных в матричной форме. Противник будет стремиться проиграть лишь минимальный максимум ("минимакс"), который в случае игр с нулевой суммой будет равен "максимину". В экономике же чаще встречаются игры с ненулевой суммой, когда выигрывают оба игрока.

Кроме этого, в реальной жизни число  игроков редко бывает равно всего  двум. При большем же числе игроков  появляются возможности для кооперативной  игры, когда игроки до начала игры могут  образовывать коалиции и, соответственно, влиять на ход игры.

Стратегии игроков не обязательно  должны содержать одно решение, может  быть так, что для достижения максимального  выигрыша потребуется применять  смешанную стратегию (когда две  или несколько стратегий применяются  с какой-то вероятностью). Кроме того, в закрытых играх тоже требуется учитывать вероятность того или иного решения противника. Таким образом, в теории игр стало необходимым применение аппарата теории вероятности, который впоследствии нашел свое применение в экономических исследованиях в виде отдельного метода - стохастического моделирования.

Содержание метода стохастического  программирования состоит во введении в матрицу задачи или в целевую  функцию элементов теории вероятности. В этом случае, обычно берется просто среднее значение случайной величины, взятое относительно всех возможных состояний.

В случае нежесткой, или двухэтапной  задачи стохастического моделирования, появляется возможность корректировки  полученного плана после того, как станет известным состояние  случайной величины.

Кроме этих методов, применяются методы нелинейного, целочисленного программирования и многие другие. Вкратце, сущность метода нелинейного программирования заключается в нахождении, или  седловиной точки, или общего максимума, или минимума функции. Основная сложность здесь в трудности определения, является ли этот максимум общим или локальным. Для целочисленного моделирования основная трудность как раз и заключается в трудности подбора целого значения функции. Общим для применения этих методов на современном этапе является возможность частичного сведения их к задаче линейного моделирования. Возможно, в недалеком будущем будет найдено какое-то оригинальное решение таких задач специфическими методами, более удобными, чем современные методы решения подобных задач (для которых они есть), и более точные, нежели приближенные решения методами линейного программирования.

Несомненно, что разработка проблем  подготовки профессиональных организаторов  производства, рынка, финансовой сферы  и специалистов в области экономики требует новых подходов к этой области, основанных на новейшей методологии проектирования образовательных систем. Один из таких краеугольных методологических принципов связан с гуманитаризацией образования, с органическим слиянием профессиональной подготовки специалиста, с формированием ценностно-смысловой, самоорганизующей, нравственной сферы его личности.

Таким образом, математическая культура будущего менеджера формируется  в структуре целостного процесса его образования как составная  часть его общего развития.

ЛИТЕРАТУРА

1. Альфред Ренье. Диалоги о математике. – М.: Мир, 1969.

2. Кудрявцев Л.Д. Современная математика  и ее преподавание. – М.: Наука, 1980.

3. Колесников А.Н. Краткий курс  для экономистов. М.; 1997.

К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №4 - 2005