Дифференциальные уравнения в биологии

γ= х3 х=.

Наконец, энергия расходуется на увеличение массы растения. Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной массы  m = ρх3 (ρ - средняя плотность растения, х3 - объём) по времени.

Согласно закону сохранения энергии, расход энергии должен быть равен её притоку:

 

или

 

 

Это и есть искомое балансное соотношение.

Разделим обе части уравнения на 3δρх2  и обозначим

 

Получаем:

 

Перепишем дифференциальное уравнение в виде

 

 

Тогда

 

 

 

Заметим, что производная dx/dt > 0, так как рост дерева увеличивается.

Значит, a - bx2 > 0, и, следовательно, x2< т. е. можно воспользоваться методом непосредственного интегрирования. Для│x│<│с│справедливо равенство:

 

Тогда, имеем:

 

 

 

 

Учтём начальное условие х(t0)=0, т. е. С = - t0  и, значит:

 

 

 

Разрешая это уравнение относительно х, имеем окончательно:

 

 

Полученная формула (5) дает кривую роста дерева. Если известны a, b и t0 (эти величины зависят от породы дерева), то можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста.

Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой (5).

Вид кривой (5) нетрудно исследовать. Найдём вторую производную:

 

 

 

Кривая (5) - выпуклая растущая кривая, а так как

 

то график кривой легко представить (см. рис. 3).

 

Рис. 3

Таких примеров, как в задачах 1-7, можно привести достаточно много. [3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости [5].

Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Такие уравнения, как уже упоминалось, называются дифференциальными.

Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественнонаучного цикла довольно широки.

В представленной работе:

• описаны теоретические основы дифференциальных уравнений;
• дана краткая историческая справка применения дифференциальных уравнений в биологии
• рассмотрены некоторые приёмы решения задач по биологии с помощью дифференциальных уравнений
• обоснована значимость применения теории дифференциальных уравнений в биологии

Таким образом, выполнены все поставленные задачи, а следовательно, достигнута и цель работы.

В ходе работы, возникла необходимость более полного, чем предполагалось, изучения основ моделирования реальных объектов.

Практическая ценность метода математического моделирования заключается в следующем:

• правильно составленная и всесторонне использованная математическая модель позволяет оптимизировать изучение реальной системы по времени;
• математическая модель позволяет облегчить прогнозирование хода и результатов экспериментов, проводимых в реальных системах.

В данной работе расмотрены одни из самых простых задач биологии, которые решаются при помощи дифференциальных уравнений. Однако даже на их примере видно, что теоретические изыскания подтверждаются практическими данными.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. – 5-е изд. – М.: Метра, 2010. – Т. 5. – 384 с.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: ИЛ, 1963. — 292 c.
3. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
4. Олейник О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях //Научные труды Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Серия: математика. — М.: МГУ, 1996 г. С. 114-121.
5. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [Электронный ресурс] — режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/ (дата обращения 31.10.14)