Дифференциальные уравнения в биологии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение                              высшего профессионального образования                                                                   «Тольяттинский государственный университет»

 

Институт:  Математики, физики и информационных технологий                               Кафедра: Информатики и вычислительной техники                                              Специальность:  230700.62 Прикладная информатика

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БИОЛОГИИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

СТУДЕНТ (КА)        Луговой А.В., группа ПИб-1301         ________________

РУКОВОДИТЕЛЬ    ____доцент Н.А. Дроздов                   ____________

 

 

Допустить к защите

Заведующий кафедрой   д.п.н., профессор Р.А. Утеева    _____________                   

                                                                     (ученая степень, звание, инициалы, фамилия)           (личная подпись)

«___» _________________ 2014 г.

 

 

 

 

Тольятти, 2014г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ. 5

1.1. Понятие  дифференциальных уравнений 5

1.2. Типы  дифференциальных уравнений первого  порядка 7

1.3. История применения дифференциальных уравнений в биологии 11

2. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 13

2.1. Значение применения дифференциальных уравнения для решения биологических задач. 13

2.2. Наиболее известные задачи биологии, решаемые методами дифференциальных уравнений. 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 29

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ. 31

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических, химических, биологических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть таких явлений, а иногда предсказать и новые эффекты. Бывает, что сама природа явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Всё это и явилось главной причиной выбора темы работы.

Объектом исследования в данной курсовой работе являются дифференциальные уравнения.

Предметом исследования  – биологические задачи решаемые методами дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является изучение применения дифференциальных уравнений в биологии.

Достижение предполагаемой цели связано  с  решением  частных задач:

1. Определить понятие дифференциальных уравнений, их основные типы и способы решения;
2. Дать историческую справку о применении дифференциальных     уравнений в биологии;
3. Изучить примеры исследования биологических процессов с помощью дифференциальных уравнений;
4. Показать значимость применения теории дифференциальных уравнений в биологии.

Методы исследования предполагают работу с литературой, эксперименты по решению различных задач с использованием дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ

1.1 Понятие дифференциальных уравнений

 

Раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и задач, связанных с ними называется теорией дифференциальных уравнений. Прикладные задачи, решаемые в теории дифференциальных уравнений, имеют широкое применение во многих естественных науках, физике, биологии, медицине и др. [2]

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее производные (или дифференциалы) неизвестной функции.

Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными. В настоящей курсовой работе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т. е.

обращающая его в тождество, называется интегралом (или решением) этого уравнения.

Интеграл дифференциального уравнения называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка, очевидно, содержит одну произвольную постоянную. Интегрированием дифференциального уравнения называется процесс нахождения решений данного уравнения.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Начальными условиями для дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений) называются дополнительные к этому уравнению (системе) условия, налагаемые на искомую функцию (функции), отнесенные к некоторому (или нескольким) фиксированному значению аргумента, которое объявлено начальным (скажем, моментом времени).

Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши. По этому начальному условию определяется значение произвольной постоянной C, входящей в общий интеграл уравнения.

В общем виде дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать следующим образом:

 

В данной работе для решения биологических задач будут использоваться исключительно уравнения первого порядка, поэтому здесь и далее речь пойдет только о них.

Дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид:

         (1)

или, после разрешения относительно производной, 

          (2)

Добавляя к уравнению (2) начальное условие, получим задачу Коши :

(3)

Заменяя у' на уравнение (2) можно записать в дифференциальной форме:

          (4)

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. [1]

 

1.2 Типы дифференциальных уравнений первого порядка

Существует 5 типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах и уравнения Бернулли. Рассмотрим подробно каждый из типов.

а) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение

 

называется уравнением с разделяющимися переменными. Делением обеих частей этого уравнения на оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

 

Иногда дифференциальное уравнение уже задается с разделенными переменными:

 

Общий интеграл его имеет вид

 

 

Пример обыкновенного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Решим уравнение

 

 

откуда после разделения переменных:

 

Проинтегрировав обе части уравнения получим:

 

 

Где С - произвольная постоянная (константа), которая может принимать любые значения.

Следовательно, решением данного дифференциального уравнения является семейство интегральных кривых (см. рис. 1).

Рис. 1

 

б) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение первого порядка вида называется однородным, еслиможно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными и решается посредством замены функции y новой функцией по формуле .

 

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(1)

Решение этого уравнения ищется в виде  

 

Дифференцируя обе части (2), получим  

(3)

Подставляем (3) в (1), будем иметь

 

или

 

Пользуясь произвольностью функции выберем ее такой, чтобы 

   (5)    

Разделяя переменные в этом уравнении, и интегрируя, будем иметь 

 

или после потенцирования

.

Нам достаточно иметь частное решение уравнения (5), поэтому положим.

 

Подставляя найденное υ(x) в уравнение (4), получим

 

 

или

 

Интегрируя, будем иметь

 

Подставляя u (x) и υ (x) в (2), получим общее решение исходного уравнения (1):      

 

 

г) Уравнения Бернулли.

Уравнение вида

 

называется уравнением Бернулли.

При n=0 оно становится линейным уравнением, при n=1 – уравнением с разделяющимися переменными. При других значениях n оно приводится к линейному уравнению с помощью следующего приема: обе части уравнения делятся на и делается замена В результате получаем линейное уравнение

 

Решив это линейное уравнение и сделав обратную замену, возвращаясь от z(x) к y(x), получим решение исходного уравнения.

 

д) Уравнения в полных дифференциалах.

Если в уравнении 1-го порядка вида

 

коэффициенты Р и Q удовлетворяют условию

 

т.е. левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Записав такое уравнение в виде , и найдя первообразную функцию по правилу

 

получим общий интеграл этого уравнения, полагая .

 

1.3 История применения дифференциальных уравнений в биологии

Использование математических законов в попытках формулирования законов биологии имеет длительную историю.

Ещё в 1202 году, Леонардо Пизанский, известный в истории математики как Фибоначчи, имел ясное представление о росте популяций. В написанной им книге по арифметике есть задачи анализа простой модели популяции кроликов. В результате решения данной задачи оно находит число пар кроликов по истечении каждого следующего месяца, имея в условии одну пару и некоторую модель воспроизведения. Такие числа  называются числа Фибоначчи.

Более системную и серьёзную попытку применения в биологии математического формализма сделал в 1680 году Джованни Борелли. Он предложил геометрический подход к механике движения животных и человека. Его, основанный на статистике, анализ является количественным. Интересным является тот факт, что работа Борелли была опубликована на несколько лет ранее знаменитой работы Ньютона «Начала».  Начало XIX века ознаменовано вспышкой интереса у многих  крупных математиков того времени к междисциплинарным исследованиям. Д'Арси Томпсон под влиянием устремлений XIX в. к более строгому формализму в  
биологии опубликовал в 1917 г. фундаментальной важности труд "О росте и  
форме". Данный труд можно в некоторой степени считать началом создания современной теоретической биологии. Она касается достаточно большого спектра биологических вопросов, которые объединены идеей применения к ним математических методов исследования. 

С 1920 г. число значительных работ в этой области возрастает,  
В связи с замечательными успехами теоретической генетики особенно следует отметить книги Холдейна и Фишера. Последние 15 лет наблюдалось широкое распространение математических методов в биологических науках, однако их положительная роль признана далеко не всеми. Составной частью  
любого теоретического исследования должна быть его связь с экспериментом и наблюдением, проявляющаяся как в предсказующей роли этого исследования, так и в его корреляции с существующими экспериментальными данными и фактами.

 С точки зрения  формализма биологические науки  гораздо сложнее и гораздо  менее развиты, нежели физические. Однако следует понимать, что моделирование и математика могут быть очень полезны для биологических наук и уже сделали серьёзный вклад в развитие биологии.

Прикладным математикам следует понимать, что в биологии и на сегодняшний момент есть математически интересные, ждущие своего часа проблемы, а биологам опираться на ту мысль, что многие разделы математики, причём не только статистика, могут внести весомый вклад и принести реальную пользу в понимание сути биологических процессов.

Взаимовыгодное, тесное сотрудничество биологов и математиков, которые имеют общие интересы, приведут к наиболее продуктивным и ценным результатам. [2]

 

2. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

2.1 Значение применения  дифференциальных уравнения для  решения биологических задач

 

Живой организм представляет собой слишком сложную систему, чтобы его можно было рассматривать сразу во всех подробностях; поэтому исследователь всегда выбирает упрощённую точку зрения, подходящую для решения конкретно поставленной задачи. Это сознательное упрощение реальных биосистем и лежит в основе метода моделирования.

Обычно, модели, используемые в биологии, делят на три категории:

1. Биологические предметные модели, на которых изучаются общие закономерности, патологические процессы, действие различных препаратов и т. д. К этому классу моделей относят, например, лабораторных животных, изолированные органы, культуры клеток, суспензии органелл и пр.

2. Физические (аналоговые) модели, т. е. физические модели, обладающие аналогичным с моделируемым объектом поведением. Например, деформации, возникающие в кости при различных нагрузках, могут быть изучены на специально подготовленном макете кости. Движение крови по крупным сосудам моделируется цепочкой резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек.