Проектирование системы самонаведения ракеты

      Под действием управляющего сигнала, вырабатываемого  АП, производится перемещение рулей ракеты так, чтобы устранялось появляющееся нарушение связей, которые накладываются на движение ракеты.

В процессе сближения  ракеты с целью расстояние между ними изменяется (сокращается). То есть расстояние между ракетой и целью является функцией времени: . Таким образом,   кинематическое звено в системе самонаведения является звеном с переменными параметрами. Переменность параметров    кинематического звена может привести к тому, что траектория движения    ракеты будет значительно отличаться от кинематической        траектории. Это в свою очередь, при определенных положениях    между ракетой и целью, может привести к срыву самонаведения. Соответственно поставленная задача не будет решена. Для устранения отмеченного в систему самонаведения вводят корректирующее устройство. Обычно его устанавливают в канале управления  ракетой, то есть в автопилоте. В связи с этим корректирующее устройство в функциональной схеме, приведенной на рис.12 не показано.

Мы рассмотрели  все элементы системы самонаведения.

Структурная схема  системы СН, в которой применяется  прямой метод наведенияия и соответственно используется неподвижный координатор, приведена на рис.13

Рис. 13 Структурная схема контура ССН. 

После преобразования структурная схема примет вид:

Рис. 14 Структурная схема контура ССН после преобразования.

Где  ;      

7. Вычисление  кинематической (опорной) траектории движения ракеты

 

   Кинематическое  звено является звеном с переменным параметром. Этим параметром является расстояние между ракетой и целью. Закон изменения данного параметра определяется в зависимости от скоростей движения ракеты и цели и от взаимного положения обеих объектов по  отношению друг к другу и от положения их по отношению к земной системе координат. Знание кинематической (опорной) траектории также необходимо для решения задачи синтеза корректирующего устройства. Она является эталонной траекторией, к которой должна приближаться согласно определенного критерия реальная траектория движения ракеты к цели.

   Кинематическая  траектория рассчитывается исходя из условий идеального самонаведения. Идеальные условия состоят в том, что в течение всего времени самонаведения параметр рассогласования равен нулю. При расчете кинематической траектории также полагают, что система управления является безинерционной и связи, накладываемые на движение     ракеты, выдерживаются абсолютно точно. Процесс движения ракеты к цели состоит из двух движений: движение центра массы и вращение ракеты вокруг центра массы. Поскольку угловые движения ракеты являются более быстрыми, чем движение центра массы, а также учитывая, что бортовой контур управления является безинерционным, то считают, что углы атаки и скольжения устанавливаются мгновенно при внезапной подаче команды управления. То есть и вектор скорости ракеты совпадает с продольной осью ракеты (связанной системы координат).

   В связи  с отмеченным, расчет кинематических траекторий производится на основе решения системы дифференциальных уравнений. Уравнения содержат шесть неизвестных. Три из них – скорость ракеты , скорость цели и угол наклона траектории цели полагают заданным. Скорость ракеты является известной, величины и задаются принятой гипотезой о движении цели.

   Для определения  оставшихся трех неизвестных система  необходимо воспользоваться еще одним уравнением, а именно, уравнением идеальной связи для используемого метода наведения.

   Для прямого  метода наведения уравнение идеальной  связи в вертикальной плоскости можно записать в виде

или

                     

   Угол  наклона вектора скорости ракеты связан с углом тангажа соотношением

                    

   Поскольку при идеальных условиях самонаведения  угол атаки  , то уравнение можно записать в виде

или

                

   Таким образом, в системе дифференциальных уравнений все переменные являются определенными и система запишется в виде

                    

   Для того чтобы найти кинематическую траекторию необходимо решить соответствующую  систему дифференциальных уравнений. Кроме этого вид опорной траектории будет определяться начальными условиями: начальным расстоянием между ракетой и целью - , начальным значением угла наклона вектора скорости - , начальным значением угла наклона линии визирования - .

   Необходимо  отметить, что при выполнении интегрирования систем уравнений может иметь место неопределенность типа «деление на ноль», что означает нулевое расстояние между ракетой и целью - . Поэтому интегрирование системы уравнений осуществляется до некоторого значения .

   Полученные  при интегрировании системы дифференциальных уравнений переменные, характеризующие кинематическую траекторию, должны быть аппроксимированы аналитическими зависимостями:

.

   Одновременно  могут быть получены аналитическая  зависимость для оптимального закона изменения угла тангажа - . Характеристика опорной траектории является переменным параметром кинематического звена.

   Если  цель осуществляет маневр, то есть

              

и скорость движения ракеты является переменной, то в кинематическом звене переменными будут три параметра: . В этом, более общем случае, характеристики кинематической траектории также рассчитываются согласно дифференциальным уравнениям.

8. Переход к матричным операторам

Структурная схема  системы самонаведения с использованием матричных операторов имеет вид:

Рис.15 Структурная схема самонаведения с использованием

матричных операторов

 

 В итоге  после преобразования, получаем: .

Обозначим:                ,                          

тогда с учетом последних обозначений имеем:

где параметры  ПИД - регулятора .

     Параметры регулятора будем искать из условия  минимума функционала:

 

8.1 Метод сеточно-матричных операторов

Квадратурной  формулой называется приближенное равенство вида:

                                                    

где — непрерывная на отрезке функция и — некоторые точки на отрезке   — узлы квадратурной формулы, — числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, — целое число.

  При использовании квадратурных формул область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемых сеткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки — сеточные функции.

При таком подходе  функция  характеризуется ее дискретными значениями а, например, производные заменяют их разностными аналогами — линейными комбинациями значений сеточных функций в узлах сетки. Разделим промежуток на равных подинтервалов где  

Рис. 16 Сеточная функция

Для вычисления значений определенного интеграла  в вычислительной математике пользуются квадратурными формулами.

Наиболее простыми являются формулы прямоугольников  и трапеций.

Рис. 17 К пояснению формулы прямоугольников с левыми ординатами

Рис. 18 К пояснению формулы трапеций

Формулы прямоугольников  с левыми и правыми ординатами соответственно имеют вид

        

где

Приведем формулу  трапеций

        

Если площадь  элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной под параболой, проходящей через точки и , то для этого случая имеет место формула Симпсона

        

Рис. 19 К пояснению формулы Симпсона

 Метод квадратурных  формул применяется для решения  интегральных уравнений с операторными ядрами

                               

где                    

при этом будем пользоваться следующими обозначениями: — фиксированные абсциссы отрезка — числовые коэффициенты, при этом отрезок разбит на частей, а точки являются равноотстоящими.

Числовые коэффициенты точки и шаг определяются формулами:

         .

  — для формулы прямоугольников;

        

Перейдем от передаточных функций к матричным  операторам:

1)    

,  где   

2)   

где, кинематическая траектория.

3) Представим передаточную функцию в виде уравнения Вольтера 2 рода.

  Где, 

 

 

где

где  

4)

 

В результате получаем:

; 

 
 

 
 

  
 9.  Синтез корректирующих устройств в системах самонаведения

Передаточная  функция:

           

где - коэффициенты передачи соответственно дифференцирующей, пропорциональной и интегрирующей составляющих регулятора.

Во временной  области ПИД – регулятор описывается  уравнением

              

Здесь - управляющий сигнал, формируемый регулятором, - сигнал, на основе которого формируется управление.

     В результате минимизации функционала  методом наименьших квадратов (функция fminsearch пакета MATLAB R2006a) при начальном приближении были получены следующие значения параметров:   

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Рис. 20 Изменение расстояния между целью и ракетой}

_{Рис. 21 Углы наклона траектории ракеты и цели} 
 
 

Вычисляем кинематические траектории ракеты и  цели по формулам:

   

Причем:    ,        ,