Государство и право

     

     т. е. для равновесия балки необходимо, чтобы суммы проекций всех сил, приложенных к балке, вместе с реакциями опор на оси х и у были равны нулю.

     Кроме того, должна быть равна нулю и сумма  моментов всех сил.

     Если  силы, изгибающие балку, перпендикулярны  к её оси, то уравнение ∑Х = 0 обращается в тождество и для определения реакций остаётся два уравнения статики:

     

     Если  балка при поперечном изгибе имеет  такие опоры, что общее число  реакций, возникающих на опорах, не превосходит двух, то последние могут  всегда быть определены из двух уравнений статики.

     Такие балки, реакции которых могут  быть определены из уравнений статики, называются статически определимыми балками. Статически определимые балки могут быть только следующих двух видов:

     1) балка с одним жёстко-защемлённым  и другим свободным концом (рис. 6, а) и 

     2) балка с одной шарнирно-неподвижной  и другой шарнирно-подвижной опорами (рис. 6, б и 6, в). 

     

     Рис. 6

     Балка, изображённая на фиг. 6, в, имеет свешивающиеся  концы. Такую балку принято называть консольной, а свешивающиеся концы — консолями.

     Балки, у которых общее число реакций  опор больше числа уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми. В случае статически неопределимых балок реакции опор определяются из совместного решения уравнений статики и уравнений деформации балок.

     Изгибающий  момент в любом сечении балки  равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть балки: М_И = ΣМ₀(F_i).

     Поперечная  сила в любом сечении балки  равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на отсеченную часть балки: Q_y = ΣF_iy.

     Значения  поперечных сил и изгибающих моментов в различных сечениях балки могут быть неодинаковы, поэтому строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для определения поперечных сил и изгибающих моментов необходимо знать правила знаков.

     Правила знаков для поперечных сил.

           -поперечная сила считается положительной в том случае, если внешние силы поднимают левый конец балки или опускают правый (рис. 7,а).

           -поперечная сила считается отрицательной в том случае, если внешние силы опускают левый конец балки или поднимают правый конец (рис. 7,б). 

                 а       б

     Рис. 7

     Правила знаков для изгибающих моментов.

           -изгибающий момент считается положительным, если внешние силы, действующие на левый конец балки, поворачивают его по часовой стрелке, а действующие на правый — против часовой стрелки (рис. 8,а).

           -изгибающий момент считается отрицательным, если внешние силы, действующие на левый конец балки, поворачивают его против часовой стрелки, а действующие на правый — по часовой стрелке (рис. 8,б). 

                       а       б

     Рис. 8 

     Последовательность построения эпюр поперечных сил

     и изгибающих моментов:

1. Под нагруженной балкой строим расчетно-графическую схему.
2. Используя три уравнения: ΣF_ix =0, ΣF_iy = 0, ΣM(F_i) = 0, определяем реакции опор балки (обязательно выполнить проверку решения).
3. Используя метод сечений, определяем значения поперечных сил в характерных точках, т.е. точках, в которых приложены внешние нагрузки (при этом удобнее использовать прямое правило знаков, т.е. разбивать балку слева направо).
4. По полученным значениям поперечных сил строим эпюру Q_y под балкой проводим прямую, параллельную ее оси, и от этой прямой в характерных точках откладываем перпендикулярные поперечным силам отрезки, соответствующие выбранному масштабу.
5. Используя метод сечений, определяем величину М_и в тех же характерных точках и по полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов.

     Характерные особенности построения эпюр Q_y; М_и

1. На участке балки, где действуют сосредоточенные силы, эпюра Q_y очерчивается прямой, параллельной оси балки, а эпюра М_и — наклонной прямой.
2. На участке балки, где действует распределенная нагрузка, эпюра Q_y очерчивается наклонной прямой, а эпюра М_и — параболой выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.
3. В точке балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q_y наблюдается скачок на величину этой силы, а на эпюре М_и — излом.

     4. В точке балки, где приложен  внешний момент, на эпюре Q_y не наблюдается никаких изменений, а на эпюре М_и наблюдается скачок на величину внешнего момента.

     При деформации изгиба возникает нормальное напряжение. Напряжения одинаковы в сечении балки по ширине, но изменяются по высоте балки.

     Условие прочности при  изгибе: рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.

     

     где W_x — осевой момент сопротивления (величина, характеризующая способность элементов конструкции сопротивляться деформации изгиба).

     Осевой  момент сопротивления сечения определяется по формулам: 

 

           а     б     в

     Рис. 9 

     Три расчета на прочность при изгибе.

1. Проверочный:

 
     

2. Проектный.

 

     3. Проверочно-уточненный.

 

     При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях бруса возникают изгибающий момент М_И, который обусловливает возникновение нормального напряжения σ_и, и поперечная сила Q_y, которая обусловливает возникновение в этом же сечении касательного напряжения τ_и (рис. 10): 

 

     Рис. 10 

     Под действием внешних сил ось  бруса испытывает линейное перемещение y и угловое перемещение φ (рис. 11). Линейные и угловые перемещения определяют по формулам, которые составлены с учетом вида нагрузок, направления их к оси бруса и места приложения к брусу. Эти формулы занесены в специальные таблицы. 

 

     Условие жесткости при  изгибе: рабочее линейное или угловое перемещение должно быть меньше или равно допускаемому линейному или угловому перемещению, т.е.

 

     Лекция 7. КРУЧЕНИЕ

     Деформации  кручения подвергаются многие детали машин и конструкций: валы, пружины и пр. Кручением называется такой вид деформации брусьев, при котором в любом поперечном сечении внутренние усилия приводятся только к крутящему моменту Т = М_г (рис. 2.1, 5.1), а остальные силовые факторы равны нулю (N = Q_x = Q_y = 0; M_x = M_y = 0).

     Брусья, работающие на кручение, называются валами. В машинных передачах валы, кроме кручения, испытывают обычно также изгибные нагрузки (изгиб) от натяжения цепей, ремней, взаимодействия зубчатых колес и т.п., и от веса самих валов. В проектных расчетах валы рассчитывают вначале лишь на кручение (т. е. конструкция вала создается из условия его прочности при кручении). При незначительных изгибающих моментах расчет так называемых легких валов ведется только на кручение.

     Прежде  чем перейти к выводу уравнений  для определения напряжений и  деформаций при кручении, остановимся на некоторых экспериментальных результатах.

     Возьмем круглый цилиндр, нижний конец которого, закрепим в неподвижной плоскости  N (рис. 1, а) а к его свободному верхнему концу приложим пару сил с моментом М_к действующую в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Цилиндр под действием этого момента будет испытывать деформацию, называемую кручением. При кручении цилиндра его ось ОО остается прямой. Ось эта называется осью кручения. Если на боковой поверхности цилиндра до начала кручения была нанесена сетка, образованная окружностями и образующими (рис.1, б), то после деформации произойдет следующее (рис. 1, в). 

                 

     Рис. 1

1. Квадраты, образованные этой сеткой, обратятся в совершенно одинаковые ромбы.
2. Круговые сечения цилиндра останутся круглыми с прежним диаметром.
3. Расстояния между окружностями не изменятся, следовательно, и вся длина цилиндра останется прежней.

     4) Образующие цилиндра обратятся  в винтовые линии с большим шагом.

     Теория  кручения круглого бруса основана на трёх следующих предположениях:

     -плоские  поперечные сечения бруса остаются  плоскими и после деформации;

     -радиусы  поперечных сечений при деформации  остаются прямыми;

     -расстояния  между поперечными сечениями не изменяются.

     Определение напряжений и деформаций при кручении. При кручении в поперечном сечении бруса под действием крутящего момента М_кр — возникает касательное напряжение, которое распределяется по радиусу сечения по линейному закону: минимальное напряжение (равное нулю) — в центре сечения, максимальное — на поверхности бруса (рис. 2). Векторы напряжения направлены перпендикулярно радиусу сечения.