Государство и право

     М_z = Т — крутящийся момент, пытающийся скрутить часть 1 относительно части 2 по оси z (на рис. 8,г проекции вектора момента Т показаны дугами со стрелками);

     М_х, М_у — изгибающие моменты, стремящиеся изогнуть одну часть сечения от другой относительно осей х и у соответственно.

     Лекция 3. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

     Растяжением или сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечном сечении возникает только продольная сила (нормальная растягивающая или сжимающая сила, не равная нулю), а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю. В стержне при этом рассматривается поперечное, т. е. перпендикулярное оси стержня сечение.

     Возьмём призматический брус (рис. 1) с постоянной площадью поперечного сечения А см². Нанесём на его поверхности острой иглой две неглубокие чёрточки на расстоянии l мм друг от друга. Теперь приложим по концам бруса две равные и противоположно направленные силы P так, чтобы эти силы строго действовали вдоль оси бруса. Брус, находясь в равновесии под действием растягивающих сил, удлинится в продольном направлении, а поперечные его размеры несколько уменьшатся.

     

     Рис. 1

     При этом мы будем предполагать, что  в рассматриваемом брусе все плоские сечения, нормальные к оси бруса, остаются и после деформации плоскими и нормальными к его оси. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений. Она подтверждается опытными данными для сечений, не близких к месту приложения силы Р; принимая эту гипотезу, тем самым предполагают, что все продольные элементы бруса растягиваются совершенно одинаково.

      Принцип Сен-Венана. Нормальное напряжение в сечении бруса распределяется равномерно в тех случаях, когда сечение значительно удалено от точки приложения сил, и неравномерно в сечениях, расположенных вблизи точки приложения силы (рис. 2).

     Гипотеза  плоских сечений устанавливает, что при растяжении (сжатии) сечение бруса остается плоским и перпендикулярным линии действия силы. Тщательно измерив расстояние между двумя нанесёнными чёрточками, мы найдём, что оно увеличилось и стало равным l₁ мм. Обозначим полученное удлинение бруса через Δl; его величина будет: 

     

     Рис. 2

     Это приращение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением при растяжении; в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.

     Абсолютное  удлинение, очевидно, зависит от первоначальной длины бруса. Поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесённое к единице первоначальной длины бруса. Отношение называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением).

     

     Следовательно, относительной продольной деформацией называется отношение абсолютного удлинения (укорочения) к первоначальной длине бруса. Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности, число это отвлечённое и часто выражается в процентах от первоначальной длины:

     

     Для определения напряжения в любом  поперечном сечении, т. е. в сечении, перпендикулярном к оси бруса, применим общий способ, принятый в сопротивлении материалов,— метод сечений.

     Рассечём  мысленно брус на две части поперечным сечением ab и правую часть отбросим. Для равновесия оставшейся левой части приложим в плоскости сечения внутренние силы упругости, направленные нормально к плоскости сечения. Силы эти заменяют действие удалённой правой части на левую часть бруса. Равнодействующая сила упругости будет действовать по оси бруса и по величине будет равна Р кг. Приняв гипотезу плоских сечений, мы тем самым приняли, что при растяжении силы упругости распределены равномерно по всему сечению, поэтому напряжение во всех точках поперечного сечения будет определяться по формуле

     s=P/А, МПа

     Напряжение  это будет нормальным, так как  оно направлено, как и сила Р, перпендикулярно к плоскости поперечного сечения. В случае сжатия бруса напряжение вычисляется по той же формуле, так как здесь изменяется только направление сил.

     Нагрузки  и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678 г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов. При растяжении или сжатии бруса закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением и относительной продольной деформацией:

     Закон Гука при растяжении устанавливает, что нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях при растяжении в пределах упругости, прямо пропорционально продольной деформации ε=ΔL/L:

     

     где Е — коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга. Пропорциональность эта нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности.

     Из  формулы видно, что размерность  модуля упругости Е такая же, как и напряжения, так как ε — величина отвлечённая, т. е. Е выражается в МПа.

     Он  характеризует жесткость материала, из которого изготовлен элемент конструкции. Для различных материалов его значения определены экспериментально.

     Формулу, выражающую закон Гука, можно написать и в другом виде, подставляя в неё вместо s и e их выражения:

     

     при этом получим видоизмененное выражение закона Гука:

     

     где Δl— абсолютное изменение продольных размеров; l — первоначальные размеры элемента; ЕF — величина, характеризующая жесткость сечения бруса.

     Формула напряжения и закон Гука являются основными формулами при расчётах на растяжение и сжатие.

     Методика прочностного анализа стержневых конструкций

     Методика  прочностного анализа любой конструкции содержит следующие основные разделы:

1. Определение всех внешних сил и сил реакций.
2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня (бруса).
3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.
4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жесткости

     Проиллюстрируем вышесказанное на примере растяжения стержня.

     Пусть мы имеем прямой стержень АВ длины I постоянного сечения (например, квадратного со стороной а), жестко закрепленный на одном конце и нагруженный осевой силой F на другом (рис. 4,а). Стержень расположен горизонтально, собственным весом стержня пока пренебрегаем.

     Выполним  последовательно пункты методики прочностного анализа:

     1. Определим величину реакции в  заделке (саму заделку мысленно отбрасываем и заменяем силой реакции R_Az, (рис. 4,6). Реакцию R_Az направляем влево (если в результате получим ее величину отрицательной, значит, сила реакции направлена в противоположную сторону, т. е. вправо).

     Все внешние силы и силы реакции направлены вдоль оси стержня, поэтому условие его статического равновесия в данном случае имеет вид (сумма проекций всех внешних сил и реакций связи на ось z):

     -R_Az+F = O.

     Получаем  величину реакции R_Az = F (заключаем, что выбранное направление силы реакции верно).

2. Применим метод сечений (РОЗУ) — рассекаем стержень в произвольном сечении I - I (рис. 4, а, б) и рассматриваем равновесие либо правой части 2, либо левой части 1, т. е. отбрасываем одну из частей. Действие внутренних силовых факторов, заменяем равнодействующей силой N в сечении площадью А:

     

     Рис. 3.1.

     Исследуемый элемент конструкции — а; расчетная  схема — б; метод сечений — в; эпюра продольной силы — г; распределение нормальных напряжений по поперечному сечению — д; эпюра нормальных напряжений е; схема деформации стержня — ж; эпюра продольных деформаций — з; эпюра поперечных деформаций — и; эпюра продольных удлинений — к 

     Уравновешивание любой из частей показывает, что  продольная (нормальная) сила N равна F и направлена от сечения (рис. 4,в), следовательно, по правилу знаков в сопромате считается положительной. Поскольку сечение 1-1 было выбрано произвольно, эпюра продольной силы по длине стержня будет постоянной (рис. 4, г, ордината – значение силового фактора).

     3. Эксперимент показывает, что при  рассматриваемом виде нагружения  плоские сечения до деформации и после приложения нагрузки остаются плоскими (кроме краевых зон, величина которых сравнима с размером поперечного сечения). Отсюда можно сделать вывод, что интенсивность внутренних силовых факторов по поперечному сечению постоянна, т.е. нормальные напряжения одинаковы в любой точке поперечного сечения и равны (рис. 4, д):

     s_z= N/A=F/A

     Как и эпюра продольной силы, эпюра  нормальных напряжений неизменна по длине (рис. 4,е).

     4. Процесс анализа деформации стержня  при растяжении показывает, что  весь стержень удлинится на Ñl (абсолютная деформация) и его поперечные размеры сократятся на Ñа. Поскольку поперечные сечения остаются параллельными друг другу и после нагружения, то относительная продольная деформация любого продольного отрезка  при растяжении постоянна и в нашем случае равна (рис. 4, ж, з):

     e_z=Ñl/l

     Относительная деформация — величина безразмерная (иногда задается в %).

     Гипотеза  упругости (физическая связь между  напряжениями и деформациями) в случае растяжения (сжатия) стержневого элемента (закон Гука при растяжении - сжатии) имеет вид:

     s_{z =} e_z ×Е,

     где Е — модуль упругости материала (первого рода) или модуль Юнга — физическая характеристика, определяемая из опыта. В данной конкретной задаче (рис. 4,з) продольная деформация постоянна вдоль оси стержня и равна

     e_z=s_z/Е = F/ЕА.

     Величина  ЕА – жесткость стержня на растяжение-сжатие. Эксперимент показывает, что отношение  величин поперечной деформации к  продольной для изотропных материалов практически постоянно и оценивается коэффициентом Пуассона (физическая характеристика материала – коэффициент поперечной деформации):

     m = -e_y/ e_z

     Эпюра поперечной деформации представлена на рис. 4,и. Величина m для широкого класса конструкционных материалов изменяется в диапазоне

     0 £ m £ 0,5

     Полное  удлинение стержня: при постоянном значении N и площади сечения А равно:

     Ñl=Fl/EA

     На  рис. 4, к представлена линейная эпюра  изменения текущего значения Ñl(z) в зависимости от координаты z ( в т. А жесткая заделка – перемещений нет).