Расчет показателей надежности

      1.4.2 Определение характера закона  распределения 

      Область применения и свойства различных законов распределения даны в литературе [1].

      Характер  предполагаемого закона распределения  определяется исходя из трех факторов: физической сущности случайной величины с учетом области применения того или иного закона распределения; внешнего вида гистограммы, сравнивая её с различными кривыми f (t); величины коэффициента вариации V.

      По  первому фактору, в нашем случае, вполне естественно предположить, что наработка до отказа подчиняется экспоненциальному закону, так как известно, что этому закону подчиняется наработка до внезапного отказа.  

      По  второму фактору также можно  сделать вывод о наличии здесь  экспоненциального закона, так как гистограмма (рисунок 2) больше всего соответствует кривой именно экспоненциального закона.

      По  третьему фактору имеются следующие рекомендации:

при V < 0,3 скорее всего имеет место ЗНР

при 0,3 < V < 0,5 может иметь место, как ЗНР, так и ЗРВ;

при V> 0,5 имеет место ЗРВ;

при V = 1 имеет место ЭЗР как частный случай ЗРВ,

      В нашем случае можно предположить наличие ЭЗР, так как V = 0,78, что довольно близко к единице.  Итак, принимаем гипотезу о том, что исследуемая случайная величина подчиняется экспоненциальному закону распределения.  

      1.4.3 Определение параметров экспоненциального  закона распределения и построение графиков 

     ЭЗР характеризуется следующими выражениями:

                                                       (17)

                                                (18)

                                                       (19)

где P(t) – вероятность безотказной работы;

Q(t) – вероятность отказа или функция распределения;

f(t) – плотность распределения.

      Единственным  параметром является интенсивность  отказов  , так как m = σ. Ранее мы нашли Принимая  находим

      

      Запишем выражения (17), (18), (19) в более определенном виде:

                                                       (20)

                                                (21)

                                                       (22)

     

     

     

     

     

     

      Таким образом, мы получили теоретический  закон распределения наработки до отказа, который теперь можно изобразить графически, то есть в виде плавных кривых. Для сравнения эти теоретические кривые показаны вместе со статистическими зависимостями на рисунках 1 и 2. Все расчеты, связанные с построением кривых, сведены в таблицу 3. 

      Таблица 3 – К расчету P(t), Q(t), f(t)

 
 

    1.5 Проверка  соответствия принятого теоретического закона статистическим данным

    Прежде чем пользоваться полученным теоретическим законом, необходимо убедиться в том, что он не противоречит опытным данным. Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения, о чем наглядно свидетельствуют рисунки 1 и 2. Необходимо выявить, что является причиной этого расхождения: случайные обстоятельства, связанные с ограниченным числом наблюдений, или же неверно подобранная кривая, которая не соответствует статистическим данным. Ответ на эти вопрос дают так называемые критерии согласия.

     Рассмотрим  самый распространенный критерий согласия Х² (критерий Пирсона):

                                                   (23)   

где - статистическая вероятность попадания случайной величины в i-ый разряд;

q_i – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-ый разряд, вычисленная на основании принятого теоретического закона распределения.

     Чем больше разница между и q_i, тем больше будет и величина X², которая поэтому и называется мерой расхождения. Мера расхождения сама является случайной величиной, закон распределения которой зависит от числа испытаний n и от закона распределения исследуемой случайной величины.

     К. Пирсон показал, что эта мера расхождения  при достаточно больших n подчиняется так называемому распределению X², которое практически не зависит ни от F(t),  ни от n,  а зависит лишь от одного  параметра r, называемого числом степеней свободы:

     r = к – (φ+i),                                                  (24)

где    к – число разрядов статистического  ряда;

φ – число параметров принятого закона распределения.

     Если  теоретический закон выбран правильно, то вероятность того, что полученное расхождение X² произошло по чисто случайным причинам, будет достаточно велика. Эта вероятность P не должна быть меньше 0,1.

     Для нахождения величины P в зависимости от X² и r составлены специальные таблицы, одна из которых приведена в приложении литературы [1]. Таким   образом,   последовательность   проверки   по   критерию   Пирсона следующая:

     1. Определяется мера расхождения  X².

     2. Определяется число степеней  свободы r по формуле (24).

     3. По X² и r при помощи таблиц определяется величина P.

     Если  P> 0,1 закон принимается, а при   P< 0,1 - закон отбрасывается. Для определения X² удобнее пользоваться формулой, которая получена из формулы (23) путем подстановки вместо :

                                                   (25)

где q_i– теоретическая вероятность отказа в i-ом разряде.

                                                  

                                                (26)

Расчеты сведем в таблицу 4.

      Таблица 4 – К расчету Х²

                                                       

      Определив величину Х², находим число степеней свободы:

      r = 6 – (1+1) = 4,

так как  у ЭЗР имеется только один параметр λ и поэтому φ=1.

      Зная  Х² и r по таблице [1] находим, значение Р=0,446. Так как 0,446>0,1, приходим к выводу, что принятый экспоненциальный закон распределения с параметром λ=0,00661 ч^-1 не противоречит статистическим данным о времени безотказной работы объекта. 

      1.6 Анализ кривых и вычисление  вероятности отказа и безотказной  работы в заданном интервале наработки 

      Имея  не противоречащий опытным данным теоретический  закон распределения наработки до отказа, можно найти значение вероятности отказа и безотказной работы в любом интервале наработке по формулам:

      Q(a; b) = F(b) – F(a);                                        (27)

      P(a; b) = 1 – Q(a; b),                                      (28)

где Q(a; b) – вероятность отказа в интервале наработки от a до b;

F(b)=Q(b) – вероятность отказа в интервале наработки от 0 до b;

F(a)=Q(a) – вероятность отказа в интервале наработки от 0 до a; 

P(a; b) – вероятность безотказной работы в интервале наработки от a до b.

      Согласно исходным данным: a=150 ч; b = 350 ч.

      

      

      Q(150; 350) = 0,901 – 0,629 = 0,272;

      P(150; 350) = 1 – 0,272 = 0,728.

      Q(a; b) и P(a; b) можно показать на графике распределения и плотности распределения (рисунки 1 и 2). 
 

      2 ИЗУЧЕНИЕ ИЗНОСОВ ДЕТАЛЕЙ 

      2.1 Микрометраж деталей 

      2.1.1 Задачи микрометража 

      Микрометраж гильзы проводится для выявления  и анализа характера и величины износа гильзы в различных сечениях по высоте.

      Микрометраж партии гильз поступивших в ремонт двигателей проводится с целью получения первичной информации для дальнейшей статистической обработки.