Теория автоматического управления

Область устойчивости в плоскости одного параметра можно определить с помощью метода D-разбиения. Область устойчивости находится по передаточной функции замкнутой системы:

 

 

Где, N(p)-Фрагмент полинома без варьируемого пареметра

(p)- фрагмент полинома с варьируемым  параметром

- варьируемый параметр

Примем Т01 за варьируемый параметр V и перепишем знаменатель передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию Wg, заменив р на jω:

 

=

>> w=-1:0.001:1

>> R=-0.0338*w.^4+0.3037*w.^2-0.0013

>> I= -0.2937*w+0.2086*w.^3

>> plot(R,I)

>> grid

 

Рис. 8 - Область устойчивости в плоскости одного параметра

 

Определить запасы устойчивости, колебательность САР.

Для корректной работы САУ необходимо, чтобы она обладала запасами устойчивости по фазе и амплитуде.

Запасы устойчивости САР можно определить по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

Замкнутая САУ устойчива, если ЛФЧХ разомкнутой системы на частоте среза проходит выше -1800.

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, используя функцию margin в MatLab.

 

>> Wg=tf([59.2 160],[0.14 3.01 15.31 1.8 1])

Transfer function:

59.2 s + 160

-------------------------------------------

0.14 s^4 + 3.01 s^3 + 15.31 s^2 + 1.8 s + 1

>> margin(Wg)

 

Рис. 9 - ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

Как видно из рис.8 запас по фазе составляет , а запас по амплитуде

Для определения показателя колебательности M нужно использовать передаточную функцию замкнутой системы.

 

Тогда , где ωр - резонансная частота

 

Рис. 10

 

Рис. 11 - ЛАЧХ замкнутой системы по задающему воздействию

 

 

Построить переходные характеристики при нулевых и ненулевых начальных условиях. Определить показатели качества переходного процесса: время регулирования, перерегулирование, длительность фронта, характер ПП.

Построим переходную характеристику при нулевых начальных условиях при помощи команды step(), в качестве параметра будет выступать передаточная функция замкнутой САР по заданию.

 

Рис. 12 - Переходная характеристика с нулевыми начальными условиями

 

Определим показатели качества переходного процесса:

установившееся значение: 2,48

перерегулирование:

 

 

показывает относительный максимальный выброс от установившегося значения

время регулирования: – интервал времени от начала переходного процесса до последнего входа кривой переходной характеристики в Δ-зону

длительность фронта: – показывает, как быстро меняется сигнал.

характер переходного процесса: Колебательно сходящийся.

Построим переходную характеристику, реализовав модель САР (рис. 13) в Simulink:

 

Рис. 13 - Модель реализации САР в Simulink

 

Рис. 14 - Переходная характеристика модели САР реализованной в Simulink

 

Сравнив две переходные характеристики, построенные в MatLab (рис.12) и Simulink (рис.14) мы увидим, что показатели качества этих графиков одинаковы, а это указывает на правильность наших расчетов.

Принять характеристику усилительного элемента нелинейной.

Взамен коэффициента внешней обратной связи ки2 примем нелинейный элемент идеальное 2-х ходовое реле.

Рис. 15 - Характеристика нелинейного элемента с насыщением

 

Составить структурную схему нелинейной системы, получить передаточную функцию линейной части системы.

Заменим усилительный элемент Ку2 нелинейным элементом.

Составим структурную схему нелинейной системы:

 

Рис. 16 - Структурная схема НСАР

 

Заменим всю линейную часть одним блоком WЛЧ(s):

 

Рис. 17 - Структурная схема НСАР

 

Получим передаточную функцию линейной части системы:

Получим эту же передаточную функцию с помощью MatLab:

 

w1*w2*w3*w4*w6

 

Transfer function:

 

5.366 s + 3.22

----------------------------------------------------------

25.94 s^4 + 159.8 s^3 + 232.6 s^2 + 34.05 s + 1

 

Методом гармонической линеаризации исследовать НСАР. При отсутствии периодических режимов изменить параметры НЭ или коэффициент передачи РС линейной части. Проверить систему на устойчивость.

Метод гармонической линеаризации – это приближённый метод, который позволяет заменить нелинейный оператор на линейный, используя ряд Фурье. Этот метод даёт возможность оценить устойчивость нелинейных систем, определить амплитуду и частоту автоколебаний.

При применении метода гармонической линеаризации предполагается, что в системе существуют автоколебания, а передаточная функция линейной части является фильтром низких частот.

Найдем частоту и амплитуду автоколебаний, используя критерий Михайлова.

Запишем характеристическое уравнение линеаризованной системы:

 

Wл.ч. =

D(s) = A(s) + B(s) q(a)

D(s) = 25,94s4+159,8s3+232,6s2+34,05s+1+(5,37s+3,22)q(a);

 

Произведя замену s на jw получим:

 

D(jw) = 25,94w4 – j159,8 w3 – 232,6w2 + j34,5w+1 + j5,37wq(a) + 3,22q(a);

 

Выделим действительную и мнимую части и приравняем их к 0:

 

 

Выразим из первого уравнения q(a):

 

q(a) = -8,05w4 + 72,3w2-0,31

 

Подставим найденное значение во 2-е уравнение:

 

-159,8w3 + 35,4w + 5,37w(-8,05w4 + 72,3w2-0,31) = 0

 

Упрощая данное выражение получим биквадратное уравнение:

 

-43,23w4 + 228,45w2 +33,74 = 0;

 

Произведя замену w2 на х решим данное уравнение:

 

х1 = -0,14; х2 = 5,43

 

Так как необходимы только действительные и положительные значения w первый корень отбрасываем. В итоге получим:

 

w = 2,33 c-1

 

Зная w найдем q(a)

 

q(a) = -8,05w4 + 72,3w2-0,31

q(a) = 154,94

 

так как q(a) = а = 0,28

 

Графическая проверка данного решения:

 

Рис. 18

 

Рис. 19 - График пересечения 2-ч кривых

 

Из графика видно, что точка пересечения этих кривых имеет координаты (0,32; 159,94) значит найденное решение верное.

Проверим систему на устойчивость по критерию Михайлова.

Примем приращение амплитуды: Δа = 0,02

Тогда коэффициенты гармонической линеаризации равны:

 

 

Построим годографы Михайлова с помощью библиотеки Control System Toolbox:

 

>>w=0:0.01:5

>>q=154,94

>>X=25.94*w.^4-232.6*w.^2+1+3.22*q

>>Y=-159.8*w.^3+34.5*w+5.37*w*q

>>q1=151.6

>>X1=25.94*w.^4-232.6*w.^2+1+3.22*q1

>>Y1=-159.8*w.^3+34.5*w+5.37*w*q1

>>q2=174.9

>>X2=25.94*w.^4-232.6*w.^2+1+3.22*q2

>>Y2=-159.8*w.^3+34.5*w+5.37*w*q2

>>plot(X,Y,X1,Y1,'+',X2,Y2,'b*')

>>grid

 – плюсики +

 – звёздочки *

 

Рис. 20 - Годографы Михайлова при положительном и отрицательном приращении амплитуды автоколебаний

 

Рис. 21 - Годографы Михайлова при положительном и отрицательном приращении амплитуды автоколебаний

 

Рис. 22 - Годографы Михайлова при положительном и отрицательном приращении амплитуды автоколебаний

Система устойчива в “большом” т.к. при положительном приращении амплитуды годограф Михайлова проходит левее исходной АФЧХ, а при отрицательном приращении правее.

Записать ПФ ДСАР.

Реализуем математическую модель ДСАР. Для перехода от непрерывной модели к дискретной воспользуемся функцией С2D из библиотеки Control System Toolbox.

Определим период квантования по теореме Котельникова; с этой целью построим амплитудно-частотную характеристику передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию:

 

 

Рис. 23 - АЧХ передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию

 

Период квантования находим из теоремы Котельникова по формуле:

 

Рис. 24

 

= 2.724 c-1

Тогда по теореме Котельникова период квантования:

T ≤ 1.153 c

Примем период квантования:

T = 0.1 c

>> wd=c2d(Wu,0.1,'zoh')

Transfer function:

0.002686 z^3 + 0.006849 z^2 - 0.006798 z - 0.001916

---------------------------------------------------

z^4 - 3.47 z^3 + 4.487 z^2 - 2.557 z + 0.5401

Sampling time: 0.1

 

Построить ПП, ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ ДСАР.

 

Рис. 25 - Переходная характеристика ДСАР при T = 0.1 c

 

Показатели качества почти аналогичны характеристикам непрерывной модели:

установившееся значение: 2,48

перерегулирование:

время регулирования:

длительность фронта:

запасы устойчивости ДСар

 

>> wdraz=c2d(Wraz,0.1,'zoh')

Transfer function:

0.001074 z^3 + 0.002739 z^2 - 0.002719 z - 0.0007663

----------------------------------------------------

z^4 - 3.473 z^3 + 4.487 z^2 - 2.554 z + 0.5401

Sampling time: 0.1

bode(wdraz)

 

Рис. 26 - ЛАЧХ и ЛФЧХ ДСАР

 

Запас по фазе , а запас по амплитуде

Построим годограф Найквиста ДСАР.

nyquist(wdraz)

 

Рис. 27 - АФЧХ ДСАР

 

Увеличим данное изображение в окрестности точки (-1; j0)

 

Рис. 28 - АФЧХ ДСАР

 

Как видно годограф не охватывает точку (-1; j0), что свидетельствует об устойчивости системы.

 

Заключение

 

В ходе выполнения курсовой работы были закреплены теоретические знания, полученные в ходе изучения курса «Теория автоматического управления».

В данной курсовой работе были рассмотрены математические модели линейной, нелинейной и дискретной систем автоматического управления, которые были составлены по принципиальной схеме «CAP температуры в теплообменнике».

Был описан процесс регулирования САР. Произведен анализ САР на устойчивость.

По заданной принципиальной схеме САР была составлена функциональная и структурная схемы, с использованием которых были найдены передаточные функции САР по задающему и управляющему воздействиям. Дальнейший анализ линейной системы был основан на исследовании передаточной функции.

По полученным из передаточной функции переходной характеристике были найдены показатели качества регулирования и характер процесса. По трем критериям была проведена проверка на устойчивость.

Далее был проведен переход к нелинейной модели САР. Передаточная функция усилительного элемента была заменена характеристикой усилителя с насыщением. При исследовании НСАР методом гармонической линеаризации оказалось, что в системе при заданных параметрах возможны автоколебания.

 

Список использованной литературы

 

Основная литература

1  Макаревич С.П. Лекции по теории автоматического регулирования. Линейные одномерные непрерывные САР. Учебное пособие. ВКГТУ. – Усть-Каменогорск, 2001.

2  Теория автоматического управления. Под редакцией А.А.Воронова, в 2-х частях. – М.: Высшая школа, 1986.

3.  Еруланова А.Е. Теория автоматического управления: Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности 050716 – «Приборостроение», 050702 – «Автоматизация и управление» /ВКГТУ. – Усть-Каменогорск, 2009

 

Дополнительная литература

4  Полевая Ж.А. Управление техническими системами. Курс лекций. Учебное пособие. –Усть-Каменогорск: ВКГТУ, 2001.

5.  Полевая Ж.А., Л.А. Проходова Теория автоматического управления. Методическое пособие к практическим занятиям для студентов специальности 340140 «Приборостроение, монтаж и наладка приборов систем автоматизации» на базе среднего образования, колледжа. –Усть-Каменогорск: ВКГТУ, 2004.