Алгоритм формирования материального отчета об использовании материала цехом за месяц

Мы здесь везде надеемся, что читатель понимает иллюстративный характер приводимых рисунков и графиков. На самом деле, при решении многокритериальных задач графическая информация полностью отсутствует, и мы имеем дело с чисто аналитическими постановками соответствующих оптимизационных задач.

 

Метод главного критерия также можно проинтерпретировать с помощью понятия слабо эффективного решения.

Теорема 2.3. Решение задачи

где множество

       (2.20)

не пустое, есть слабо  эффективный вектор.

Доказательство. Пусть x⁰ есть решение задачи (2.20) и существует такой, что

      (2.21)

Тогда т. к. в противном случае это противоречило бы свойству для Следовательно, и поэтому существует такой номер для которого что противоречит предположению (2.21). Теорема доказана.

Теорема 2.4. Любой эффективный вектор может быть получен как решение задачи (2.20) при некоторых

Доказательство. Пусть и покажем, что

       (2.22)

Выберем произвольный \ тогда

Если предположить, что то это будет противоречить свойству эффективности вектора следовательно, что эквивалентно (2.22). Теорема доказана.

Из доказанных теорем следует, что в качестве "главного" критерия может быть выбран любой из частных критериев. Независимо от этого выбора произвольное эффективное решение может быть получено как решение задачи (2.19) при соответствующем задании

Метод главного критерия допускает простую графическую иллюстрацию.

Рис. 2.7 отражает предположение, что в качестве "главного" выбран критерий f₁, а на значения функционала f₂ наложено ограничение . Образ f(D’) множества D' точек из D удовлетворяющих указанному дополнительному ограничению, соответствует незаштрихованной части множества f(D).

Максимизация критерия f₁, на множестве D’, очевидно, приводит к построению отрезка [a, b] на рис. 2.7. Как видно из рис. 2.7, задавая различные можно получить аппроксимацию "северо-восточной" и "восточной" частей границы множества куда входят все эффективные решения задачи.

При выборе в качестве "главного" критерия f₂ мы аналогично построим "северную" и "северо-восточную" части границы.

Пусть известен диапазон изменения функционала fi:

Тогда из доказательства последней теоремы следует, что  соответствующие (при работе с критерием f₁ как с "главным") должны меняться в тех же пределах, пробегая выбранную сетку значений (аналогично построению аппроксимаций множеств эффективных и слабо эффективных решений в методах максиминной и линейной сверток).

 

 

4.2 Лексикографическая оптимизация.

Как мы видели, методом  максиминной свертки могут быть получены все слабо эффективные решения, если вектор пробегает все множество векторов А. Напротив, по методу линейной свертки можно получить только эффективные решения, но не все. А. Джоффриону (А. М. Geoffrion) принадлежит идея выделения эффективных точек из множества S(D), построенного методом максиминной свертки, с помощью процедуры максимизации линейной свертки. В результате будут построены все эффективные и только эффективные решения.

Теорема 2.5. Пусть Тогда решение задачи

есть эффективный вектор. Наоборот, любой эффективный вектор х° может быть получен как решение задачи (2.23) при некоторых и

Доказывать теорему  не будем. Обсудим ее смысл и дадим  геометрическую иллюстрацию.

Множество при фиксированном наборе коэффициентов а получают методом максиминной свертки. Можно доказать, что, если — непустое множество, то оно обязательно наряду со слабо эффективными решениями содержит хотя бы один эффективный вектор.

Пример 2.1. Докажите последнее утверждение.

Далее, максимизируя линейную свертку частных критериев (2.23) на множестве  , мы получаем в результате эффективное решение. Совершенно очевидно, что если состоит из одного элемента, то он же и будет эффективным решением и необходимость в максимизации (2.23), по существу, отпадает.

На рис. 2.8 показано множество Т_а, найденное при определенном наборе коэффициентов а, и выделенная из него эффективная оценка е.

Рис. 2.8. Лексикографическая оптимизация

При другом наборе коэффициентов  а' множество  (см. рис. 2.8) является одноэлементным: Точка е' также оказывается эффективной оценкой.

Термин "лексикографическая оптимизация" здесь использован в следующем смысле. Речь идет о так называемом лексикографическом упорядочении двух критериев — максиминного и линейного: вначале "срабатывает" максиминная свертка, и если в результате получен неоднозначный результат (множество содержит более одного элемента), то выбираются тот или те из полученных элементов, которые максимизируют линейную свертку (2.23), т. е. только тогда "срабатывает" второй критерий. Данный процесс аналогичен поиску слова в словаре: сначала мы работаем с первой буквой, затем — со второй и т. д. (этим и определяется название).

Задача многокритериальной оптимизации (2.23) часто записывается в следующем компактном виде:

 

Выводы. Ни один из методов, представленных выше, не позволяет выделить единственное оптимальное решение. Решения, соответствующие различным наборам весовых коэффициентов, являются равноправными элементами множеств эффективных и слабо эффективных решений, которые согласно общей постановке задачи ПР реализуют ядра соответствующих бинарных отношений (отношений Парето и отношений Слейте- ра), т. е. и являются искомыми решениями. Однако с практической точки зрения, например, в задачах выбора вариантов (при покупке или заказе товаров, при выборе партнеров по бизнесу, при выборе вариантов программных средств и т. д.), а также в системах автоматизированного проектирования часто требуется выбрать единственное решение (проект). Для этого должна привлекаться некоторая дополнительная информация о предпочтениях лица, принимающего решения. Принцип Парето в этом смысле позволяет лишь сузить класс возможных претендентов на решение и исключить из рассмотрения заведомо неконкурентоспособные варианты.

Методы выбора единственного решения  многокритериальной задачи существуют и связаны с использованием моделей и процедур, предназначенных для структуризации и количественного описания субъективного мнения лица, принимающего решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной работе были рассмотрены  многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности, к которым можно отнести: методы многокритериальной оптимизации, максиминные стратегии и лексикографическая оптимизация.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать следующие выводы:

- ни один из методов не позволяет выделить  единственное оптимальное решение. Решения, соответствующие различным наборам весовых коэффициентов, являются равноправными элементами множеств эффективных и слабо эффективных решений, которые согласно общей постановке задачи ПР реализуют ядра соответствующих бинарных отношений, т. е. и являются искомыми решениями. Однако с практической точки зрения, например, в задачах выбора вариантов (при покупке или заказе товаров, при выборе партнеров по бизнесу, при выборе вариантов программных средств и т. д.), а также в системах автоматизированного проектирования часто требуется выбрать единственное решение (проект).

-  методы выбора единственного решения многокритериальной задачи существуют и связаны с использованием моделей и процедур, предназначенных для структуризации и количественного описания субъективного мнения лица, принимающего решения.

В практических приложениях  методов решения многокритериальных задач редко используется какой-либо один подход в чистом виде, а комбинация подходов позволяет лучше приспособиться к особенностям конкретной проблемы. При этом может оказаться особенно плодотворным сочетание интерактивных процедур и методов представления достижимого (эффективного) множества с использованием средств мультимедиа.

 

 

Список использованной литературы

 

1. Методы принятия решений_Черноруцкий И. Г 2005 -416с
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Принятие_решений
3. Лекции по ТПР