Составление функциональной схемы системы управления

                                               (9) 

    После раскрытия скобок в знаменателе  с учетом (6) и соответствующих  преобразований получается 

  (10)                            

    Для построения амплитудно-фазовой частотной  характеристики (годографа) разомкнутой  системы записываются выражения  для действительной и мнимой частей частотной передаточной функции  на основании выражения (10)

                                                                     (11) 

                                                              (12)

    Пределы выражений (11) и (12) равны

           

           

              ,

              ,

              .

   Из  выражения (12) определяются частоты, соответствующие  точкам пересечения годографа с  действительной осью

              ;

   После решения этого биквадратного  уравнения определяются соответствующие  частоты  ; . Тогда точки пересечения годографа с действительной осью

              

            

   Аналогично  вычисляются точки пересечения  с мнимой осью путем приравнивания  к нулю выражения (11)

             ;

             

             тогда 

            

              
 

   Результаты  вычислений представлены в таблице 3.

 Таблица 3 – Характерные точки АФЧХ разомкнутой  системы

 

     Годограф строится соединением  полученных точек плавной кривой  в порядке возрастания частот. Построение АФЧХ представлено  на рисунке 6.

   

 

                               а)                                                                б)

Рисунок 6 – Амплитудно-фазовая частотная  характеристика

разомкнутой системы

   а) общий вид годографа; б) вид годографа в области высоких частот. 

   8 Построение  асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ  разомкнутой системы 

   8.1 Построение ЛАЧХ 

   Границы частотных интервалов (сопрягающие  частоты) определяются по формуле

                                                                                                                    (13)

   где Т_к – постоянная времени k-го звена.

 

  lg (ω₀₁)= lg(1000)=3

Аналогично проводим расчёты для всех постоянных времени. Результаты расчетов границ интервалов представлены в таблице 4. 

    Таблица 4 – Границы частотных интервалов ЛАЧХ

 

   Найденные значения частот наносятся на координатную ось частот в логарифмическом  масштабе (см рисунок А.1 в приложении А).

   Логарифмическая амплитудно-частотная функция для  разомкнутой системы определяется по формуле 

                                                                                                   (14) 

где – модуль частотной передаточной функции разомкнутой цепи системы,

                                                                                               (15)

где – модуль частотной передаточной функции k-го звена. 

    Тогда выражение для логарифмической  амплитудно-частотной функции для  разомкнутой системы запишется  в виде

 

         (16) 

    Выражения для логарифмической амплитудно-частотной  функции, соответствующие найденным  частотным интервалам будут следующими: 

      ω< 16,7                                                                           

     16,7<  ω< 181,22               

     181,22 < ω< 200       .           

     200 < ω< 1000                       

     ω > 1000                          

    Построенная асимптотическая ЛАЧХ  приведена в приложении А (кривая1) 

   8.2 Построение ЛФЧХ 

   Система состоит из безынерционных, инерционных  звеньев и реального интегрирующего звена. Фазовые сдвиги вносят инерционные  звенья и интегрирующее звено. Поскольку  фазовый сдвиг в системе определяется тремя инерционными и одним реальным интегрирующим звеном, то при ω ∞ суммарный фазовый сдвиг равен -5π/2. ЛФЧХ звена с постоянной времени Т₃ строится по точкам (кривая 3 на рисунке А.1 приложения А). Результаты расчёта точек приведены в таблице 5. ЛФЧХ остальных звеньев строятся по шаблону построенной ЛФЧХ (кривые 4,5 и 6 см. приложение А)

   Искомая ЛФЧХ системы (кривая 7) получается графическим  сложением фазовых сдвигов  отдельных  элементарных звеньев при соответствующих  частотах. 

Таблица 5 – Результаты расчёта точек  для построения ЛФЧХ  звена с          постоянной времени Т₃ = 0,06с

 

   Дальше  кривая симметрична построенной  части относительно точки с  координатами  ; . 
 

   9 Определение устойчивости системы 

   9.1 Определение устойчивости системы  по логарифмическим частотным  характеристикам. 

   Частота среза ω_ср, определённая по ЛАЧХ, составляет 478Гц, частота ωh, соответствующая фазовому сдвигу равному –π, составляет 99Гц. Поскольку ωh< ω_ср, система неустойчивая.  

   9.2 Определение устойчивости системы  по критерию Найквиста. 

   Для того, чтобы система была устойчива по критерию Найквиста необходимо, чтобы годограф разомкнутой системы (рисунок 6) не охватывал точку Найквиста с координатами (-1;0). В данном случае годограф разомкнутой системы охватывает точку Найквиста (координата пересечения с отрицательной полуосью вещественной оси равна -1,0397), поэтому система неустойчива по критерию Найквиста.  

   9.3 Определение устойчивости системы по критерию Гурвица 

   Главный определитель Гурвица имеет вид 

                    

   Для устойчивости системы по критерию Гурвица  необходимо, чтобы главный определитель Гурвица и все определители от него низших порядков были больше нуля, а также и все коэффициенты характеристического уравнения  также были больше нуля. При порядке  главного определителя не выше пяти достаточно выполнение условия  . Определитель 4-го порядка равен

        

    Условие устойчивости выполняется, система   устойчива по критерию Гурвица.

                                                      

    9.4 Определение устойчивости системы по критерию Михайлова 

    Для суждения об устойчивости системы используется характеристический полином, записанный в частотном виде. Из выражения (6) заменой оператора р на частотный оператор  (iω) получается 

                       =                   (17)

                               =

    При этом действительная и мнимая части  выражения для вектора Михайлова  соответственно равны

                                                                                            (18)

                                                                                     (19) 

    Из  выражения (19) определяются частоты, соответствующие  точкам пересечения годографа с  действительной осью. Для этого выражение (19) приравнивается к нулю.

                                           (20)                                                               

    После решения уравнения определяются соответствующие частоты: ω₀ =0; ω₁ =37.12Гц; ω₂ =663.12Гц (определены ранее).

    Точки пересечения кривой Михайлова с  действительной осью определяются после  подстановки этих частот в выражение (18) 

                     X(0) =37.46;

                     X(37.12) = -56.69

                     X(663.12) =413326.8 

   Для нахождения частот, при которых кривая Михайлова пересекает мнимую ось  комплексной плоскости, приравнивается к нулю выражение (18)