Построение крутильной динамической модели АКС станка и описание методов определения частот собственных колебаний

Сосредоточенными  считаем массы, размеры которых  вдоль оси не превышают двух диаметров, т.е. все зубчатые колеса. 

Определим массы зубчатых колес: 

,       (2.4)

где кг/м³. 

Диаметры зубчатых колес определим по формуле: 

, .     (2.5)

Тогда:

;  ;

;  ;

;  ;

;  ;

     

Массы зубчатых колес:  

 кг; 

  кг; 

 кг; 

 кг; 

  кг; 

 кг;   

Определим осевые моменты инерции зубчатых колес по формуле:  

,      (2.6) 

, кг·м²;

, кг·м²;

, кг·м²;

, кг·м²;

, кг·м²;

, кг·м²; 

 Осевые моменты  инерции участков валов частично  будем прибавлять к моментам  инерции сосредоточенных масс, находящихся на концах этих участков. Для этого выясним:

а) если меньше сосредоточенных масс, находящихся на концах этого участка, тогда к осевым моментам инерции сосредоточенных масс прибавляем по .

    б) если намного больше сосредоточенных масс, находящихся на концах этого участка, тогда к осевым моментам инерции сосредоточенных масс прибавляем по .

    В нашем случае массы всех участков валов меньше сосредоточенных масс, значит прибавляем по .

      Например, на I валу находятся ротор и колесо 3  с подключенной электромагнитной муфтой Э1.Уточненные моменты инерции , будут равны:

      кг·м²;

      кг·м²;

    На  II валу :

      кг·м²;

      кг·м²;

    На  III валу:

      кг·м²;

      кг·м²;

    На IV валу:

      кг·м²;

      кг·м²; 
 

 Результаты  вычислений занесем в таблицу  2.2. 

 Таблица 2.2.

 
 

2.2. Определение податливостей  (жесткостей )    

       2.2.1. Крутильная податливость  участков валов. Жесткостью участка вала на кручение называют величину скручивающего момента, необходимую для закручивания участка вала длиной 1 м на угол, равный одному радиану:

            (2.7)

где  G – модуль упругости материала вала, ;

        I_P – полярный момент инерции сечения вала, ;

        L – длина участка вала ,м.

    Иногда  пользуются понятием податливости е. Податливость – величина обратная жесткости. Крутильная податливость участка вала длиной L_i:

     ,      (2.8) 

    Если G_i = G = const = 7,8·10¹⁰ (H/м²); I_Pi = I_P = const = (м⁴).

    Тогда

      ,   (2.8’) 

    Вычислим  податливости участков валов между  элементами, передающими крутящий момент по формуле (2.8’). Результаты вычислений поместим в таблицу 2.4.  

Таблица 2.4 - Податливости участков валов.  

 

       2.2.2. Крутильная податливость  соединений вал-ступица различна для шпоночного и шлицевого соединений.

      Для шпоночного соединения:

       , ;     (2.9)

      Для шлицевого соединения:

       ,  ,    (2.10)

где  k_ШП = 6,4·10^-12, м³/Н;

       k_ШЛ = 4·10^-12, м³/Н;

     D – диаметр вала со шпонкой, м;

     d_С – средний диаметр шлицев, м;

     h – высота шпонки (шлица), м;

     l_С – длина соединения, м;

     z – число шлицев. 

     Таблица 2.5 - Податливости шпоночных и шлицевых соединений.

         

       2.2.3. Крутильная податливость  зубчатой передачи приводится к одному зубчатому колесу:

          ,    (2.11)

где  k_З = 6·10^-11 м²/Н;

     α = 20° - угол зацепления;

     b – ширина зубчатого колеса, м;

     d – диаметр колеса на валу, к которому приводят податливость, м.

   Так как вал приведения – вал IV, то податливости зубчатых передач вычисляются следующим образом:

   

;  ;  .

   Результаты  вычислений сводим в таблицу 2.6.              

Таблица 2.6 - Податливости зубчатых передач.                                

 

 2.2.4. Приведенная податливость ременной передачи

Приведенная крутильная податливость ременной передачи определяется по формуле:

  , ,     (2.12)

где  l - длина рабочей ветви ремня, м;

      E - модуль упругости материала ремня, Н/м²;

      F - площадь поперечного сечения ремня, м²;

      D – диаметр того шкива, который находиться на валу привидения, м. 

       2.2.5. Приведение податливостей последовательно соединенных упругих связей, находящихся на каждом валу.

    При последовательном соединении упругих  элементов с известными податливостями е_i податливость эквивалентного элемента e*, потенциальная энергия которого равна потенциальной энергии исходных упругих элементов, равна

     , ,      (2.13)

где n- количество упругих элементов.

    Определим податливости упругих связей, эквивалентные  последовательно соединенным упругим связям, находящимся на каждом валу, в (рад/Н·м):

e*_I = e_I + e_ШП = (9,696 + 8,53)·10^-5 = 18,229·10^-5;

e*_II = e_II + e_ШП + e_ШЛ = (6,127 + 5,267 + 0,617)·10^-5 = 12,011·10^-5;

e*_III = e_III + e_ШП + e_ШП  = (1,044 + 3,87 + 3,87)·10^-5 = 8,784·10^-5;

e*_IV = e_IV + e_ШП + e_ШП = (2,704 + 2,963 + 2,963)·10^-5 = 8,63·10^-5. 

    На  рис. 2.1 покажем исходную динамическую модель как систему инерционных элементов, соединённых упругими связями. Податливости зубчатых передач помещаем в местах зацепления колес на схеме.

    Подставим в схему найденные числовые значения, порядок величин (10^-5 для податливостей и 10^-3 для моментов инерции) на схеме опущен (рис. 2.2). 
 
 
 

Рис. 2.2 – Исходная динамическая модель с  учетом числовых значений.

    Рис. 2.1 –Исходная динамическая модель.

 

3. Приведение  масс и податливостей  к валу приведения (построение рядной многомассовой модели).

 

    Динамическая  модель привода станка представляет собой многомассовую модель с  сосредоточенными массами (моменты инерции которых известны), соединенными между собой с помощью упругих элементов (податливости которых известны).

    Заменим исходную модель эквивалентной, рядной. Кинетическая энергия рядной модели равна кинетической энергии исходной упрощенной модели. Поэтому момент инерции к-ой массы I_к, находящейся на i-том валу, приведенный к валу приведения (в данном примере это вал IV) равен:

 

    (2.14)