Цилиндрические и конические винтовые линии

Доказать два  предложения:

a) для всякой винтовой линии отношение радиусов кривизны и кручения постоянно, и обратно;

b) если отношение радиусов кривизны и кручения постоянно, то линия будет винтовой цилиндрической.

Решение:

a) Пусть направление образующих цилиндра определяется вектором (постоянным) γ, тогда по самому определению винтовой линии

дифференцируя это соотношение два раза, получим

Первое из этих уравнений показывает, что γ перпендикулярен  к главной нормали и, следовательно, он находится в плоскости векторов τ и β; но с вектором τ вектор γ составляет угол , поэтому В этом случае второе из полученных выше уравнений дает

b) Предположим теперь, что для некоторой линии:

где - постоянное; исключая из первого и последнего из уравнений Френе Сере вектор , получим:

откуда следует, что вектор будет вектором постоянным.

Полагая:

и умножая это  соотношение скалярно на , найдем:

то есть свойство, характеризующее цилиндрическую винтовую линию.

 

Заключение

Винтовые линии занимают особое положение в евклидовой геометрии. Используя винтовые линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Винтовые линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью них удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Винтовые линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

В данной курсовой работе было рассмотрено только несколько фрагментов, показывающих связь цилиндрических и конических винтовых линий с закономерностями окружающего мира. Конечно, весь этот материал не может быть изучен со всеми учащимися на уроках геометрии. Часть его предназначена для самостоятельного чтения и изучения. В случае работы в классах и школах с углубленным изучением математики появляется возможность для более глубокого и подробного изучения, для проведения межпредметных исследований. Такой материал очень интересен и полезен для учащихся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2 – М.: Просвещение, 1987. – 352 с., ил.
2. Гильберт Д., Кон–Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981. – 344 с.
3. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч. 2: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1976 – 447с., ил.
4. Базылев В.Т., Дуневич К.И. Геометрия. Ч. 4: Проективное пространство и методы изображений. Основание геометрии. Элементы топологии. Линии и поверхности в евклидовом пространстве: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов – М.: Просвещение, 1975 – 367с., ил.
5. Гордон В.О. и др. Сборник задач по курсу начертательной геометрии: Учеб. пособ. для втузов – 8-е изд. стереот./ В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солицева; Под ред. Ю.Б. Иванова – М.: Высш. шк. 202 – 302с.
6. Погорелов А.В. Основание геометрии: Учеб. пособие для студентов мат. спец. ун-тов и пед. ин-тов – 3-е изд. – М.: Наука, 1968 – 151с., ил.
7. Жафяров А.Ж. Геометрия: Учеб. пособие: В 2-х ч. Ч. 2 – 2-е изд., адаптированное под стандарты II поколения. – Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2003 – 267с.
8. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений/ В.А.Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. –М: Издательский центр «Академия». – 368с.