Цилиндрические и конические винтовые линии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Поморский государственный  университет им. М.В. Ломоносова»

 

КОРЯЖЕМСКИЙ ФИЛИАЛ

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

кафедра математики и  информатики

 

 

 

 

 

 

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ  И КОНИЧЕСКИЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ

 

курсовая работа

 

 

 

 

 

	Выполнил: Карманова Надежда Юрьевна, студентка 2 курса математического  факультета, специальность «Математика»
	Научный руководитель: Харитонова Ирина Владимировна, к.п.н., доцент кафедры математики и информатики

 

 

 

 

 

Коряжма

2009

 

Содержание

Введение……………………………………………………………………….….3

§ 1. Цилиндрические винтовые линии

1.1. Примеры цилиндрических винтовых линий……….………………..6

1.2. Построение и особенности цилиндрических винтовых линий …....7

1.3. Фронтальная  проекция цилиндрической винтовой линии ……….12

1.4. Применение цилиндрических винтовых линий…………...……….14

§ 2. Конические винтовые линии

2.1. Построение конических винтовых линий ………………………….16

2.2. Спираль Архимеда как проекция конической винтовой линии…………………………………………………………………...…………17

§ 3. Исследование свойств цилиндрической и конической винтовых линий……………………………………………………………………………..20

Заключение………………………………………………………………………25

Список литературы……………………..……………………………………….26

 

Введение

Среди множества пространственных кривых наибольший интерес представляют цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Винтовые линии занимают особое положение в евклидовой геометрии. Используя винтовые линии, можно создать наглядные модели многих широко применимых изделий в жизни. Они так же позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью этих линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Винтовые линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

Спиральные образования, которыми изобилуют живые организмы, от простейшего вируса до частей человеческого тела, с помощью генетического кода почти всегда получают точную информацию о том, в какую сторону им закручиваться, более того, носителем генетического кода служат гигантские молекулы нуклеиновой кислоты, всегда (по мнению большинства биохимиков) закрученные по правовинтовой спирали. Но и это еще не все. С тех пор как появились первые работы Л. Поллинга, посвященные спиральному строению молекул протеина, все большее число фактов говорит о том, что существующие в природе гигантские протеиновые молекулы имеют «остов», закрученный по правовинтовой спирали. У молекул нуклеиновой кислоты и протеина такой остов представляет собой цепочку, состоящую из асимметричных элементов – отрезков спиралей, закрученных в одну и ту же сторону. После прохождения каждого такого элемента вся цепь совершает очередной полный оборот вокруг оси. Нечто подобное испытывают, поднимаясь по ступеням винтовой лестницы.

У животных, обладающих двусторонней (или еще говорят билатеральной) симметрией, более крупные спиральные образования обычно встречаются попарно – по одному с каждой стороны тела животного.

Каждая из двух спиралей, образующих пару, переходит в другую при зеркальном отражении. Эффектными примерами этого могут быть рога баранов (рис. 1, а), козлов, антилоп и других млекопитающих. У человека ушная улитка имеет форму конической спирали: в правом ухе – правовинтовую, в левом – левовинтовую. Любопытным исключением является зуб нарвала – небольшого  кита, который обитаёт в водах северных морей. Это необычное животное появляется на свет с двумя верхними зубами. У самки оба зуба скрыты в челюсти. У самца правый зуб также скрыт в челюсти, зато левый зуб начинает расти вперёд, и торчит изо рта, словно копье. Размер его достигает почти трёх метров, т. е. превышает половину длины животного от кончика носа до кончика хвоста! Весь зуб обвит спиральными бороздками, закручивающимися против часовой стрелки от основания зуба к его концу (рис. 1, б). Казалось бы, в тех редких случаях, когда оба зуба превращаются в бивни, желобки на правом зубе должны были бы закручиваться по часовой стрелке. В действительности же спираль на правом зубе тоже оказывается левовинтовой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

Самыми удивительными  примерами являются раковины улиток и других моллюсков, свёрнутые в  коническую спираль. Далеко не всегда можно говорить о том, в какую сторону закручена раковина. Например, плоскую раковину наутилуса можно, подобно спиральной туманности, рассечь пополам на две одинаковые части: правую и левую. Однако существуют тысячи красивейших раковин, образующих либо правую (рис. 1, в), либо левую спираль. У одних моллюсков раковины закручены только вправо, у других – только влево. Некоторые виды моллюсков в одной местности всегда закручивают свою раковину вправо, а в другой – только влево. Изредка попадающиеся «уродцы», закрученные в «обратную» сторону, очень высоко ценятся коллекционерами. В мире растений спирали встречаются на каждом шагу: в строении соцветий шишек, листьев и ветвей вокруг ствола дерева.

По спирали перемещаются не только неодушевленные предметы, но и представители живой природы: любая точка (кроме осевой) вращающегося винта самолета или парохода; белка, взбегающая вверх или спускающаяся вниз по дереву; стаи летучих мышей, вылетающих из подземных пещер. В качестве примеров конической спирали можно привести водовороты, воронки ураганов, траекторию точек воды, стекающей по желобу, и тысячи других явлений природы.

Поэтому целью работы является исследование цилиндрических и конических винтовых линий.

Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи:

1. проанализировать литературу;
2. изучить свойства цилиндрических винтовых линий;
3. изучить свойства конических винтовых линий;
4. рассмотреть практическое применение цилиндрических и конических

винтовых линий.

Поставленная цель и  задачи определили структуру работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

 

§1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ

1. Примеры цилиндрических винтовых линий

 

Одним из очень важных примеров применения геометрических понятий  в технике и на практике является применение цилиндрической винтовой линии.

В технических приспособлениях, от самых распространенных до наиболее специальных, не обойтись без винтов, болтов, гаек, шурупов и т.д. Край резьбы у них – цилиндрическая винтовая линия (рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Цилиндрическая винтовая линия имеет одно удивительное геометрическое свойство – она может скользить вдоль самой себя.

Как следует понимать слова «скользить вдоль самой  себя»?

Рассмотрим такие примеры. Прямой меч плотно, без зазора входит в прямые ножны, то же относится и к мечу, изогнутому в форме дуги окружности: его всегда можно вложить в ножны той же кривизны. Именно это свойство имеют в виду математики, называя иногда прямые и окружности самосовмещающимися кривыми. При перемещении вдоль самосовмещающейся кривой любой ее дуги последняя никогда «не сходит с рельсов», т.е. в любой момент времени совпадают с соответствующим участком кривой.

Можно ли придумать меч  и ножны какой-нибудь другой формы, отличной от отрезка прямой или дуги окружности? Даже после долгих размышлений многие ответят, что никакой другой формы кривой придумать нельзя, но они заблуждаются. Существует третья самосовпадающая кривая – цилиндрическая винтовая линия, или цилиндрическая спираль. Это кривая, которая, закручиваясь вдоль поверхности цилиндра, пересекает все его образующие под одним и тем же углом. Посмотрите на рис. 3 – буквой α обозначен постоянный угол, который образует спираль с каждой образующей, поскольку кривизна во всех точках спирали одинакова; спиральный меч можно без труда ввернуть в спиральные ножны и столь же легко вывернуть его обратно. Все это показывает актуальность изучения вышеприведённых понятий.

Рис. 3

1.2. Построение и особенности цилиндрических винтовых линий

 

Полученное представление  о построении винтовой линии может показаться не достаточно понятным, так как при этом используется понятие угла образующей и кривой, кривизны, про которые мы ничего не знаем. Можно иначе показать возможность построения винтовой линии.

Возьмем цилиндр и  точку М на его поверхности (рис. 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

Пусть точка М двигается равномерно по окружности основания и одновременно также равномерно опускается вниз (рис. 5, а) или поднимается вверх (рис. 5, б) по образующей. На рис. 5 точка М, переместившись на окружности основания, передвигается по образующей на 3 мм. В результате сложения этих двух равномерных движений точка М опишет некоторую

кривую линию. Эта линия  и есть цилиндрическая винтовая линия.

 

 

 

 

 

 

 Рис. 5

Вторая приведенная  трактовка построения цилиндрической винтовой линии опять достаточно трудна и абстрактна, так как при этом используем понятие «сложения движения». Вот почему рассмотрим еще один практический

способ получения винтовой линии. Возьмем прямоугольный бумажный треугольник и «навернем» его на карандаш (рис. 6, а). Гипотенуза этого треугольника образует цилиндрическую винтовую линию (рис. 6, б). Получим правую винтовую линию, «навернув» на карандаш треугольник обращённой к нам поверхностью (рис. 6, в). Если же к карандашу будет прикасаться противоположная поверхность треугольника, то получим левую винтовую линию (рис. 6, г).

Рис. 6

 

Итак, видим, что есть правая и левая цилиндрические винтовые линии. Уточним эти понятия. Посмотрим на цилиндр со стороны основания в то время, когда точка, двигаясь по винтовой линии, будет удаляться от нас (рис. 7, а, б). Это движение может нам представляться происходящим по часовой стрелке или против неё. В первом случае имеем правую винтовую линию (рис. 7, а), а во втором случае – левую (рис. 7, б). В первом случае видимая часть линии поднимается слева направо, а во втором – справа налево. Большинство винтов, болтов, гаек имеют на своей поверхности правые винтовые линий. Если будем завинчивать такой винт, то это вращение будет происходить по часовой стрелке.

Рис. 7

 

Пусть точка М двигается по винтовой линии (рис. 5). Сделав полный оборот вокруг цилиндра, она поднимется вверх (или опустится вниз) на некоторое вполне определенное расстояние. Подъем точки за один оборот называется шагом винтовой линии. Часть винтовой линии, описываемая точкой за один оборот, называется ее витком.

У цилиндрической винтовой линии есть еще одно важное свойство: она определяет кратчайший путь между точками A и B на поверхности цилиндра.

Чтобы определить кратчайший путь между двумя точками A и B на поверхности цилиндра, развернем его боковую поверхность и соединим точки A и B отрезком прямой линии. Этот отрезок будет представлять некоторую часть винтовой линии и явится кратчайшим путем от точки A к точке B по поверхности цилиндра.

Исключение составляют точки, расположенные на одной образующей цилиндра или на окружности, параллельной окружности основания.

Если развернуть на плоскости боковую поверхность цилиндра с нанесенной на ней винтовой линией, то винтовая линия изобразится в виде прямой линии (диагональ прямоугольника на рис. 8, б). Это следует из тех соображений, что величина подъёма точки пропорциональна её перемещению вдоль окружности.

 

Угол α называется углом подъема винтовой линии. Его тангенс выражается формулой:

, где h — шаг винтовой линии, а D – диаметр цилиндра.

Рис. 8

 

Из формулы видно, что  при данном диаметре цилиндра числовое значение угла зависит от шага винтовой линии. Чем меньше шаг, тем меньше угол подъема винтовой линии. Если же винтовая линия на нескольких цилиндрах имеет один и тот же шаг, то угол подъема будет тем меньше, чем больше диаметр цилиндра.

Длина одного витка винтовой линии .

Рассмотрим проекции цилиндрической винтовой линии на различные плоскости. Горизонтальная проекция винтовой линии совпадает с окружностью, в которую проектируется боковая поверхность цилиндра

(рис. 7, д, е).

Построим фронтальную  проекцию винтовой линии (вид спереди). Пусть движение точки начинается на верхнем основании цилиндра в точке 1. Разделим шаг винтовой линии, а также окружность основания на одинаковое число равных частей, в данном случае на 12 (рис. 7, в, г). За полный оборот точка опустится на величину шага. Поэтому за одну двенадцатую часть оборота она опустится на шага (точка 2).

Проведем через точки  деления шага горизонтальные, а через  точки деления окружности вертикальные прямые. Точки фронтальной проекции винтовой линии получатся в пересечении горизонтальных и вертикальных прямых, проходящих через деления шага и окружности с одинаковыми номерами.

1.3. Фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии

 

Фронтальная проекция винтовой линии представляет собой синусоиду.

Докажем этот факт. Начнем с практического опыта. (Воспользуемся примером из книги И. М. Смирновой «Геометрия 10-11»)