Цилиндрические и конические винтовые линии

Если обернуть свечу  несколько раз листом бумаги, перерезать свечу наклонно острым ножом, затем  разнять обе половинки свечи  и, наконец, развернуть бумагу, то разрез края бумаги будет образовывать синусоиду. Выясним, почему это происходит. Для этого переведем задачу на язык математики.

1. Пусть дан прямоугольник  с нарисованными на нем осями  координат, параллельными соответствующим  сторонам прямоугольника (рис. 9, а)

2. Свернем этот прямоугольник  в прямой круговой цилиндр, радиус которого равен единице. При этом ось свернется в окружность, а ось станет образующей цилиндра (построение).

3. Через диаметр полученной окружности проведем сечение плоскостью, составляющей угол 45°. Знаем, что такое сечение является эллипсом. Его можно получить, нарисовав эллипс на поверхности цилиндра (см. рис. 9, б) (построение) (свойства эллипса).

4. Возьмем какую-либо точку A на эллипсе и опустим из нее перпендикуляры

на плоскость окружности и выбранный  диаметр. Соответствующие точки

пересечения обозначим B и C (рис. 9, б).

5. Треугольник ABC – прямоугольный и равнобедренный, так как B = 90°, C = 45°.

6. AB = BC (5).

7. Заметим, что длина отрезка ВС равна , где – величина дуги OB окружности (убедитесь в этом, обратившись к рис. 9, в и вспомнив определение синуса).

8. Развернем цилиндр обратно  в прямоугольник. При этом эллипс перейдет в кривую, для которой AB = , где = ОВ (рис. 9, г), т.е. кривая является частью синусоиды (7).

Рис. 9

 

Очень наглядно иллюстрирует сказанное следующий пример.

Если на пути параллельных световых лучей, падающих на стену под прямым углом, поместить цилиндрическую спираль, ось которой также перпендикулярна стене, то возникшая на стене тень будет перпендикулярна лучам, а на стене появится синусоида.

1.4. Применение цилиндрических винтовых линий

 

Теперь поговорим о  различных применениях цилиндрических винтовых линий. Вокруг нас есть множество примеров использования винтовой цилиндрической линии и её свойств. В архитектуре с помощью винтовой линии «сворачивают расстояния» винтовая лестница занимает в строении меньше места.

Наглядное представление  о винтовой линии может дать пружина (рис. 2, в). Винтовые линии очень распространены в технике. Винт, болт, гайка, сверло и многие другие предметы (рис. 2) содержат на своей поверхности винтовые линии. Резец токарного станка при обработке цилиндрической детали, снимая стружку, описывает на ее поверхности винтовую линию. Винтовая линия с той или иной степенью точности встречается в природе. Стебли вьющихся растений «шаг за шагом», «виток за витком» взбираются по стволу дерева по винтовой линии. По ней же смерч скручивает стволы деревьев.

Часто винтовую цилиндрическую линию называют цилиндрической винтовой спиралью.

Число витков спирали, которое  необходимо сделать, чтобы перейти  от нижнего листа к ближайшему верхнему, равно одному из чисел широко известного ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13... (каждый член этого ряда равен сумме двух предыдущих). Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса» (филлотаксис – расположение листьев); его неожиданной связи с числами Фибоначчи посвящено много книг и статей. Стебли вьющихся растений обычно закручиваются парами, причем стебли растений партнёров закручиваются в противоположных направлениях. Жимолость, например, всегда закручивается по левой спирали, а вьюнок – по правой.

Каждая спираль, цилиндрическая или же любой другой формы – это асимметричная пространственная кривая, отличная от своего зеркального отражения.

За исключением винтов, болтов, гаек, которые по стандарту полагается делать правовинтовыми (левовинтовыми их делают лишь для некоторых специальных целей), все остальные спирали, изготовленные человеком, обычно бывают и право-, и левовинтовыми – длинные витые конфеты, винтовые лестницы, канаты и кабели, свитые из крученых шнуров и проводов и т.д.

Задача. На боковой поверхности вращающегося цилиндра нарисованы три спирали красная, белая и синяя. Высота цилиндра равна 120 см. Красная линия пересекает все образующие цилиндра (прямые на поверхности цилиндра, параллельные оси) под постоянным углом 60°. Требуется найти длину красной линии.

На первый взгляд, кажется, что для определения длины в приведённом условии не хватает данных. На самом же деле при правильном подходе задача решается очень просто.

Наряду с цилиндрической винтовой линией рассматриваются так называемые винтовые цилиндрические поверхности. Их описывают дуги плоских кривых, которые, равномерно вращаясь вокруг оси, одновременно равномерно перемещаются вдоль неё же. Лопасть винта корабля, грубо говоря, является куском винтовой цилиндрической поверхности.

Винтовая цилиндрическая поверхность, образованная отрезком прямой, перпендикулярным оси вращения, называется прямым геликоидом («геликоид» в переводе с греческого означает «спиралеподобный»). На рис. 10 изображена модель прямого геликоида. Другая его модель – мыльная пленка, натянутая на проволочную винтовую линию.

 

Рис. 10

§2. КОНИЧЕСКИЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ

1. Построение конических винтовых линий

 

Выше мы достаточно подробно рассматривали цилиндрическую винтовую линию. Не меньшее значение в геометрии и, особенно в окружающем нас мире имеют конические винтовые линии.

Многое о том, что говорили про цилиндрическую винтовую линию, переносится и на коническую.

Очень похоже и само построение конической винтовой линии. Точка опишет коническую винтовую линию, если она двигается равномерно по образующей конуса, а эта образующая вращается равномерно около оси конуса с постоянной угловой скоростью (рис. 11, а, б, в).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11

 

При построении конической винтовой линия на рис. 11, а провели 12 образующих конуса и разделили шаг винтовой линии тоже на 12 равных частей. В рассматриваемом случае точка за два оборота поднимается от основания конуса до его вершины.

 

 

 

 

Рис. 12

 

Коническую винтовую линию можно наблюдать на винтах (рис. 12) и в архитектуре.

Конические спирали (т.е. спирали, навитые на поверхность конуса), например пружины в матрасах, могут быть право- и левовинтовыми.

2.2. Спираль Архимеда как проекция конической винтовой линии

 

Рассмотрим некоторые  важные проекции винтовой линии. Горизонтальная проекция конической винтовой линии представляет собой спираль Архимеда (рис. 11, в).

На примере спирали  Архимеда попробуем более подробно поговорить о кривых вообще.

Как можно задать аналитически (в виде формулы) спираль Архимеда? Применение декартовых координат здесь не помогает, выручают так называемые полярные координаты.

Поясним, что представляет собой полярная система координат. Рассмотрим полярные координаты на плоскости. Пусть на плоскости задана координатная прямая с выделенной точкой O и единичным отрезком ОЕ. Эта прямая в данном случае будет называться полярной осью (рис. 14, а). Полярными координатами точки A на плоскости с заданной полярной осью называется пара ( ), где r – расстояние от точки A до точки O, φ – угол между полярной осью и вектором OA, считаемым в направлении против часовой стрелки (см. рис. 14).

Угол φ при этом можно задавать в градусах или радианах.

Если на плоскости задана декартова система координат, то обычно за полярную ось принимается ось . В этом случае каждой точке плоскости можно сопоставить полярные координаты ( ) (рис. 14, б). При этом, декартовы координаты выражаются через полярные по формулам: , ; и, наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы координаты по формулам:

, , ^.

Рис. 14

 

Полярные координаты оказываются удобными для задания  кривых на плоскости, особенно для задания  различных спиралей. Рассмотрим некоторые из таких кривых.

Окружность радиусом R и центром O задаётся уравнением r = R (рис. 15).

На рис. 16 видим изображение спирали Архимеда.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15    Рис. 16

 

Опираясь на это изображение, можно сформулировать основное геометрическое свойство, которое определяет эту спираль.

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2πa, где a – некоторое фиксированное число. Действительно, если угол увеличивается на 2π, т. е. точка делает один оборот против часовой стрелки, радиус увеличивается на 2πa, что и составляет расстояние между соседними витками. В самом деле, для линии, проведенной на рис. 11, при каждом повороте образующей окружности точка этой линии приближается к центру на радиуса основания.

Спираль Архимеда в полярной системе координат задается уравнением , где a – некоторое фиксированное число, – угол, измеряемый в радианах (рис. 16).

Предположим, что a > 0, и построим график этой кривой. Если , . Это означает, что углу = 0 соответствует точка O на кривой. Поскольку радиус r должен быть неотрицательным числом, то отрицательным углам никаких точек на кривой не соответствует. Посмотрим, как изменяется радиус при изменении φ от 0 до + ∞. В этом случае радиус r будет возрастать и изменяться от 0 до + ∞. Например, при = радиус r будет равен aπ; при = π он будет равен a, т.е. в два раза больше; при φ = он будет в три раза больше и т.д. Соединим плавной линией найденные точки, получим кривую, которая называется спиралью Архимеда.

По спирали Архимеда идёт, например, звуковая дорожка на грампластинке; туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда. Металлическая пластинка профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

 

§3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ВИНТОВЫХ ЛИНИЙ

 

Задача 1.

Дана винтовая линия:

.

Написать ее уравнение  в естественной параметризации и  вычислить длину дуги

, где .

Решение:

Рассмотрим числовой промежуток . Длина дуги для значений , пробегающих промежуток , вычисляется по формуле:

.

Тогда имеем: .

Следовательно, естественная параметризация винтовой линии имеет вид:

.

Теперь вычислим длину  дуги данной винтовой линии:

.

 

Задача 2.

Написать уравнение  касательной к винтовой линии  в точке .

Решение:                                

Имеем:

 

.

 

Задача 3.

Доказать, что все касательные  винтовой линии образуют один и тот  же угол с образующими цилиндра, на которых расположена эта винтовая линия.

Доказательство:

Направляющий вектор в произвольной точке  этой винтовой линии, вычисляется по формуле:

.

Известно, что направляющие векторы образующих цилиндра , содержащего винтовую линию, коллинеарны вектору .

Пусть - угол между векторами и .

Тогда имеем:

.

Отсюда следует, что  .

 

Задача 4.

 Вычислить  кривизну винтовой линии:

.

Решение:

Имеем:

,

где .

 

Задача 5.

Вычислить кручение винтовой линии.

Решение:

Используя вычисления, проведенные  в предыдущих пунктах, получим:

,

,

,

,

где , , .

Вычислим кручение, ϰ применяя формулу:

ϰ =

= .

Задача 6.

Вычислить кривизну и  кручение винтовой линии γ заданной в произвольной параметризации :

.

Решение:

Имеем:

,

,

,

,

,

,

.

Теперь вычислим и ϰ:

;

ϰ =

.

 

Задача 7.

 Винтовой  цилиндрической линией называется  такая линия на (любом) цилиндре, которая каждую из образующих  цилиндра встречает под постоянным  углом; она получится из прямой линии, начерченной на плоскости, если плоскость навернуть на цилиндр.