Основы расчетов прочностной надежности элементов конструкций

 

     Требуется решить следующие задачи:

     - определить реакции в опорах  балки;

     - построить эпюру поперечных сил  Q (в кН);

     - построить эпюру изгибающих моментов  М (в МПа);

     - определить опасное сечение (или  сечения) по длине балки;

     - определить размеры (в мм) поперечного  сечения стальной балки для следующих профилей поперечного сечения: двутавр, круг, прямоугольник (с заданным соотношением сторон h/b=2) и кольцо (с заданным соотношением диаметров d/D=0,9), исходя из условия прочности при изгибе по нормальным напряжениям;

     - построить эпюры нормальных напряжений (в МПа), возникающих в опасном сечении для каждого рассматриваемого профиля балки;

     - сделать вывод о рациональности  применения каждого профиля по  критерию минимума массы балки;

     - определить прогиб (в мм) двутавровой балки в середине пролёта двумя способами (с помощью интеграла Мора и с помощью правила «дирижёра») и сделать заключение о выполнении условия жёсткости при изгибе для рассматриваемой балки. 

3.1. Определение реакций  в опорах балки 

     Определение реакций в опорах балки является первым этапом выполнения данного задания. Для этого составим расчетную схему балки. Расчетная схема балки вычерчивается без масштаба по ширине листа (см. рис. 5). далее обозначаем опоры (левая опора А, а правая опора В) и прикладываем неизвестные по величине и направлению реактивные силы R_а и R_в к балке в опорных сечениях в произвольном направлении параллельно оси у.

     Составляем  уравнения равновесия балки  и и решаем их относительно величин R_а и R_в. Если величина реакции получилась отрицательная, это означает, что необходимо изменить первоначально выбранное направление реакции на противоположенное. Знак минус после замены направления реакции не учитывается. Составляем уравнение (сумма проекций сил на ось У). это уравнение является проверочным в расчете реакций и обязательным для выполнения. Если сумма проекций всех сил не равна нулю, решение некорректно и необходимо найти ошибку в расчете реакций. 

     

     

     

     

     

     

     

     

       

3.2. Построение эпюры  поперечных сил 

     Эпюра поперечных сил Q является графическим представлением изменения внутренних сил по длине балки и вычерчивается под расчетной схемой балки.

     Правило определения величины поперечной силы в сечении заключается в следующем. Поперечная сила в сечении балки  равна сумме проекций на сечение всех внешних сил (в том числе и реакций) для рассматриваемой части балки. При этом внешние силы, вращающие рассматриваемую часть (левую или правую) относительно сечения по ходу часовой стрелки, считаются положительными, а вращающие против часовой стрелки – отрицательными. Согласно данному правилу составляем уравнения для расчета изменения величины Q на каждом участке балки.  

     

     

     

     

     

     

     

     

     

       

     По  уравнениям рассчитываем граничные  для каждого участка балки  значения Q, откладываем эти значения с учетом знаков в соответствующих сечениях без масштаба и строим эпюру по длине балки (рис. 5) 

     3.3. Построение эпюры  изгибающих моментов 

     Эпюра изгибающих моментов М является графическим  представлением изменения внутренних моментов по длине балки и вычерчивается  под эпюрой поперечных сил Q.

     Правило определения величины изгибающего момента в сечении заключается в следующем. Изгибающий момент в сечении балки равен сумме моментов всех внешних сил (в том числе и опорных реакций) относительно сечения для рассматриваемой части балки. При этом для рассматриваемой левой части балки момент считается положительным, если он направлен по ходу часовой стрелки относительно сечения. Для рассматриваемой правой части балки момент считается положительным, если он направлен против хода часовой стрелки относительно сечения, иначе – моменты считаются отрицательными. Согласно данному правилу составляем уравнения для расчета изменения величины М на каждом участке балки. 

     

     

     

      , ,

     

     

     

     

     

     

     

     

       

     По  уравнениям рассчитываем граничные  для каждого участка балки  значения М, откладываем эти значения с учетом знаков в соответствующих  сечениях без масштаба и строим эпюру  по длине балки (рис. 5)

 

3.4. Определение размеров  поперечного сечения  балки 

     Для расчёта параметров поперечных сечений  балки используем условие прочности  по нормальным напряжениям (1).

     При этом величину нормальных напряжений при изгибе определяем по формуле: 

                     (11) 

       где М – изгибающий момент в сечении; – момент сопротивления сечения относительно оси х.

       тогда величина момента сопротивления  сечения  должна удовлетворять следующему условию: 

                   (12) 

     Из  условия (12) следует, что максимальное значение принимает при максимальном значении М, т.е. в опасном сечении балки (см. рис. 5). Поэтому определение размеров любого профиля поперечного сечения балки (с постоянным по длине поперечным сечением) проводим для опасного сечения.

      

     - для двутавра:

      N = 55; W_x = 2035·10³ мм³; А = 11800 мм²; J_x = 55962·10⁴ мм⁴.

       

     Определение размеров прямоугольного, круглого и  кольцевого сечения выполняем расчётным путем с учётом заданных в п. 3 соотношений.

     Формулы для расчёта момента сопротивления  сечений имеют вид:

     - для прямоугольного сечения  , где b, h – ширина и высота прямоугольного сечения, соответственно, (в мм);

      

      

      

      

      

        

     - для круглого сечения  , где d – диаметр круга, (в мм);

      

      

      

      

        

     - для кольцевого сечения  , где D – наружный диаметр кольца, (в мм); ; d – внутренний диаметр кольца, (в мм).

      

      

      

      

      

        

3.5. Построение эпюры  нормальных напряжений  в опасном сечении 

     Эпюра является графическим представлением изменения нормальных напряжений по высоте (наружному диаметру) поперечного сечения балки и вычерчивается (в МПа) без масштаба по тексту расчетов аналогично рассмотренной п. 1.5. Для построения эпюры используют функцию , где – момент инерции сечения. Эпюра строится для каждого профиля поперечного сечения балки (в МПа). При этом необходимо определить положение сжатых и растянутых волокон (и знака нормальных напряжений, соответственно) по высоте поперечного сечения. Если в опасном сечении изгибающий момент (рис. 5) отрицательный, то сжатые волокна находятся в нижней относительно продольной оси балки половине поперечного сечения, а растянутые – в верхней половине сечения. Если в опасном сечении изгибающий момент положительный, то сжатые волокна находятся в верхней относительно продольной оси балки половине поперечного сечения, а растянутые – в нижней половине сечения.

     Построение  эпюры нормального напряжения в  опасном сечении для двутавра рис. 6. 

       

       Рис. 6. Эпюра нормального напряжения в опасном сечении для двутавра

     Построение  эпюры нормального напряжения в  опасном сечении для прямоугольника рис. 7.

       

       Рис. 7. Эпюра нормального напряжения в опасном сечении для прямоугольника 

     Построение  эпюры нормального напряжения в опасном сечении для круга рис. 8.

       

       Рис. 8. Эпюра нормального напряжения в опасном сечении для круга 

     Построение  эпюры нормального напряжения в  опасном сечении для кольца рис. 9.

       

       Рис. 9. Эпюра нормального напряжения в опасном сечении для кольца

     Далее проводим выбор рациональных профилей поперечного сечения балки по критерию минимума веса балки. Для этого  последовательно рассчитываем соотношения  площадей прямоугольного, круглого и  кольцевого поперечных сечений к площади двутаврового сечения: ; ; , где , – площадь прямоугольного, круглого, кольцевого и двутаврового сечений, соответственно, (в мм²).

     

     

      

      В результате анализа делаем заключение, что  выгоднее использовать двутавр, затем кольцо, прямоугольник и  круг. 

3.6. Определение прогиба  балки в середине  пролёта 

     Пролётом  называют расстояние между опорами  балки. Для определения прогиба  балки в середине пролёта необходимо выполнить следующее.

     Под эпюрой изгибающих моментов М заново начертим балку без нагрузки (рис. 5). При этом данную балку называют вспомогательной. Далее приложим единичную силу (безразмерную) в середине пролёта в направлении, перпендикулярном продольной оси балки (вверх или вниз). Определить реакции и в опорах балки (см. п. 3.1). Составим два уравнения изгибающих моментов для каждого участка пролёта от действия единичной силы. 

      

      

      

      

      

      

       , ,