Основы расчетов прочностной надежности элементов конструкций

, то функция .

На участке  (I) (рис. 4) все сечения опасны.

Графическое представление изменения нормальных напряжений по высоте поперечного сечения бруса на рис. 1.

 
 

1.6. Определение деформаций  бруса и построение  эпюры абсолютных удлинений

Абсолютные  удлинения (8) определяются из формулы закона Гука (5):

Абсолютное  удлинение ∆l_∑ бруса определяю (9): 

∆l_∑=(-0.2947)+(-0.1208)+0=-0.4155 мм

Брус  сжался на 0,4155 мм. 

Рассчитаю относительные деформации ε_i (в процентах) участков бруса:

%

%

%

Перемещение текущего поперечного сечения на участке бруса в результате деформации равно:

Z – координата положения текущего поперечного сечения на участке бруса;

0 ≤ Z ≤ l_0,i

∆l_III + ∆l_II = 0+(-0.1208)=-0.1208 мм

∆l_II + ∆l_I = (-0,1208)+(-0,2947)=-0,4155 мм

Так как  уравнение (7) описывает линейную функцию изменения ∆l_i ,то для построения эпюры ∆l на участке бруса достаточно двух граничных значений: при z=0 ∆l=0; при z=l_i ∆l=∆l_i.

Вычерчиваю  эпюру ∆l (в мм) без масштаба под эпюрой σ (рис.2), начиная для первого от защемления участка бруса (в защемлении ∆l=0).

Рисунок 2 

2. Расчёт прочностной  надёжности вала  круглого поперечного  сечения при кручении 

     На рис. 3 приведена расчётная схема вала круглого поперечного сечения (диаметры вала выражены через параметр d), к которому приложены внешние вращающие моменты Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. Длины участков бруса равны К₁, К₂, К₃, К₄.

      В табл. 3 приведены исходные данные для расчёта. 

      Таблица 3

      Исходные  данные для расчёта вала круглого поперечного сечения при кручении

 

     Величину  Т₄ (в табл. 3 не указана) определить исходя из условия равновесия вала (сумма всех четырех моментов равна нулю). При этом, если указанное на рис. 3 направление момента Т₄ не совпадает с расчетным (значение Т₄<0), необходимо изменить его направление на противоположенное.

     Требуется решить следующие задачи:

     - построить эпюру крутящих моментов  Т (в кН·м);

     - определить диаметры поперечных  сечений стального вала (в мм) при заданном соотношении диаметров  исходя из условия прочности  при кручении по касательным  напряжениям ( ; принять );

     - построить эпюру касательных напряжений (в МПа), возникающих в поперечных сечениях по длине вала, и сделать вывод о выполнении условия прочности по касательным напряжениям для рассматриваемого вала;

     - определить опасные сечения (или  сечение) и построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении (в МПа);

     - определить углы закручивания  (в градусах) левых сечений вала относительно правых для каждого участка вала и угол закручивания (в градусах) крайнего левого торцевого сечения вала относительно правого;

     - построить эпюру углов  (в градусах) закручивания поперечных сечений вала относительно крайнего правого.

2.1. Построение эпюры  крутящих моментов 

     Крутящим  моментом Т называют внутренний силовой фактор, возникающий в поперечных сечениях вала при кручении под действием заданной нагрузки (вращающих моментов).

     Правило определения величины крутящего  момента в сечении заключается  в следующем. Крутящий момент в сечении вала равен сумме всех вращающих (внешних) моментов для рассматриваемой его части. При этом направление и знак величины вращающего момента определяют со стороны отброшенной части: вращающие моменты, направленные против хода часовой стрелки, принимаются положительными, а вращающие моменты, направленные по часовой стрелке – отрицательными. Согласно данному правилу составляем уравнения для расчета величины крутящих моментов на каждом участке вала. 

     Т_I =Т₁ = 0,6 кН·м;

      Т_II = Т₁ = 0,6 кН·м;

      Т_III = Т₁ + Т₂ = 1,3 кН·м;

      Т_IV = Т₁ + Т₂ – Т₃ = 0 кН·м;

      -Т₁ – Т₂ + Т₃ + Т₄ = 0 кН·м,

      Т₄ = Т₁ + Т₂– Т₃ = 0,8 кН·м. 

      По результатам расчета строим эпюру Т (рис. 3). 

2.2. Определение геометрических размеров поперечных сечений вала 

     Для расчета параметров поперечных сечений  используем условие прочности по касательным напряжениям: 

            (7) 

       где – расчётные напряжения в поперечных сечениях по длине вала (в МПа); – допускаемое касательное напряжение при кручении материала вала (для стали принимают )

     Так как величину определяем по формуле: 

         (8) 

       то  величина полярного момента сопротивления  (в мм³) сечения должна удовлетворять следующему условию: 

                       (9) 

       где Т – крутящий момент в сечении.

     По  условию (9) определяем неизвестные  размеры поперечного сечения  вала, решая его как систему  неравенств при заданных соотношениях между диаметрами (см. рис. 3)

       

     Расчётные значения диаметров вала (в мм) округляем  до стандартных согласно условию (7): d ≥ 106,3 мм. Принимаем d = 110 мм.

       Тогда 0,5d = 55 мм 56 мм, 1,5d = 165 мм 165 мм, 2d = 220 мм 220 мм. 

2.3. Построение эпюры  максимальных касательных  напряжений 

     Эпюра максимальных касательных напряжений является графическим представлением изменения касательных напряжений по длине бруса и вычерчивается (в МПа) без масштаба под эпюрой Т. Для этого необходимо рассчитать значения для каждого участка бруса по уравнению (8) с учетом полученных в п. 2.2 стандартных значений диаметров. 

     

     

     

     

     Построим  эпюру максимальных касательных  напряжений (рис. 3). 

2.4. Построение эпюры  касательных напряжений  по высоте поперечного  сечения 

     Эпюра является графическим представлением изменения касательных напряжений по высоте (наружному диаметру) поперечного сечения вала и вычерчивается (в МПа) без масштаба по тексту расчетов аналогично рассмотренной в п. 1.5. Для построения эпюры используют функцию , где – полярный момент инерции сечения. Эпюра касательных напряжений по высоте поперечного сечения показана на рис.4.

     

       Рис. 4. Эпюра касательных напряжений по высоте поперечного сечения 

2.5. Построение эпюры  относительных углов  закручивания

     Эпюра относительных углов закручивания (в градусах) является графическим представлением изменения углов закручивания поперечных сечений по длине вала относительно крайнего торцевого его сечения (правого согласно п.2).

     Угол  закручивания текущего поперечного сечения на участке бруса в результате деформации равен 

                   (10) 

       где – координата положения текущего поперечного сечения на участке бруса, ; G – модуль упругости материала вала при сдвиге (для стали принимать G=0,8·10⁵ МПа); – полярный момент инерции поперечного сечения вала ( ).

     Так как уравнение (10) описывает линейную функцию изменения  , то для построения эпюры на участке бруса достаточно двух граничных значений: при ; при .

     Таким образом, для первого от крайнего правого торцевого сечения вала откладывают на соответствующих  границах участка по ординате значения 0 и , для второго участка – значения и , для третьего участка – значения и , получая для крайнего левого поперечного сечения вала ординату .

     

     

     

     

     Построим  эпюру относительных углов закручивания (рис. 3). 
 
 
 
 
 
 
 

3. Расчёт прочностной  надёжности балки  на двух опорах  при изгибе 

     На  рис. 5 приведена расчётная схема балки на двух опорах постоянного поперечного сечения, к которой приложена система внешних сил и моментов: сосредоточенная сила (силы) F, распределённая нагрузка с интенсивностью q и сосредоточенный изгибающий момент (моменты) М. Длины участков балки равны К₁, К₂, К₃.

      В табл. 3 приведены исходные данные для  расчётов. 

      Таблица 3

      Исходные  данные для расчёта вала круглого поперечного сечения при кручении