Метод крутого восхождения, или метод Бокса-Уилсона

      4.3 Среднее квадратическое отклонение

      Далее извлечем квадратный корень из и получим среднее квадратическое отклонение:

      

      Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии определяется по следующей формуле:

       ,                                                                                                            (9)

     где − количество членов в уравнении регрессии (кроме ).

      В соответствии с формулой 9 среднее квадратическое отклонение составило:

        

      4.4 Определение доверительного интервала и значимость коэффициентов уравнения регрессии

      Для оценки значимости коэффициентов по доверительному интервалу вычисляют доверительный интервал для коэффициента по формуле 10.

       ,                                                                                                       (10)

     где − критерий Стьюдента (табличное значение критерия при 5%-ном уровне значимости и при количеству степеней свободы равно 4,3).

      Вычислим  доверительный интервал:

      

      Доверительный интервал одинаков для всех коэффициентов. Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии с помощью соотношения 10 удобно тем, что позволяет применить правило: коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала:

                                                                                                                  (11)

      Незначимые  коэффициенты исключаются из модели. При этом если коэффициенты модели некоррелированны между собой (матрица моментов диагональная), то исключение незначимых коэффициентов не скажется на остальных коэффициентах. В обратном случае оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты закоррелированы друг с другом.

      Таким образом, определим значимость коэффициентов  уравнения регрессии путем их сравнения с доверительным интервалом:

       ; ; ; ; ; ; .

      Из  представленных выше выражений следует, что все коэффициенты регрессионного уравнения больше доверительного интервала (что говорит об их значимости). Уравнение регрессии примет вид:

                                   (12) 

      5 Вычисление расчетных значений параметров оптимизации

      Определим расчетные значения параметров оптимизации  путем подстановки соответствующих знаков (+ или −) в выражение 7. Тогда получим следующие расчетные значения:

      

      

      

      

      

      

      

        

      6 Определение критерия Фишера и проверка модели на адекватность

      6.1 Вычисление критерия Фишера

      Адекватность  модели в целом будем определять по критерию Фишера. Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) равно: 

       ,                                                                                                      (13)

     где − дисперсия адекватности модели (остаточная дисперсия);

           − дисперсия опыта (эксперимента).

      Вычислим  дисперсию адекватности по формуле:

       ,                                                                      (14)

     где − число степеней свободы;

           − количество значимых коэффициентов модели (в уравнении регрессии, кроме );

           − количество опытов.

      Сначала вычислим разницу между расчетными и экспериментальными значениями параметров оптимизации и заполним таблицу 2:

                                                                                                       (15)

      Также найдем (∆Y)² и заполним таблицу 2.

      Подставляя  известные значения в выражение 14, вычислим дисперсию адекватности модели:

      

      Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) вычислим по формуле 13.

      

      Табличное значение критерия Фишера ( ) определяется по таблице. Значение F-критерия для уровня значимости зависит от (число степеней свободы большей дисперсии), (число степеней свободы меньшей дисперсии). Учитывая уровень значимости и зная степень свободы, табличное значение критерия Фишера равно . 

      6.2 Проверка модели на адекватность

      Полученную  с помощью факторного планированного эксперимента модель объекта необходимо проверить на адекватность. Проверяется адекватность модели, то есть пригодность полученной модели для описания реального объекта исследования, по отношению дисперсий адекватности и параметра оптимизации .

      Сравним расчетные и табличные значения критериев Фишера и сформулируем вывод об адекватности модели. Согласно условию − модель неадекватна и соответственно при − адекватна.

      Таким образом, в нашем случае:

       ; . , что говорит об адекватности модели. 

      7 Метод крутого восхождения, или метод Бокса-Уилсона

      Согласно  таблице 2 была получена матрица планирования полнофакторного эксперимента типа , были вычислены коэффициенты регрессии и получено уравнение регрессии (7).

      Выбираем  базовый фактор:   

      Первый  фактор X₁ - - базовый фактор -

      Второй  фактор X₂ -

      Третий  фактор X₃ -

      Базовым фактором является первый фактор, т.е. посещенные учебные занятия (в том числе практические и лабораторные занятия) по физике, значит, он является ведущим.

      Выбираем новые шаги варьирования для проведения мысленных опытов. Для базового фактора выбираем шаг варьирования (шаг движения) λ_б по направлению оптимуму. Можно оставить прежний или ввести новый шаг варьирования, более мелкий, мы поставим λ_б = 17. Определяем новые шаги варьирования при крутом  восхождении λ_i по остальным переменным по формуле:

      

         

      Были  практически реализованы 3 и 5 эксперименты. Экстраполированные значения выходных параметров  для λ₃ и  λ₅  будут рассчитаны по формуле:

      За 6 опытов мы получили полную модель, базовый фактор и провели серию мысленных опытов (которая добавляется к 8 предыдущим). Удалось попасть в область оптимальных значений. 
 
 
 

Заключение

      Уравнение регрессии для данного полного  факторного эксперимента выглядит следующим образом:

       .

      Так как  , модель адекватна, то есть пригодна для описания реального объекта исследования.

      Наибольшее  влияние на результат выступления  на олимпиаде по физике в 11 классе оказывает посещение учебных занятий по физике ( ), наименьшее же − посещение факультативов ( ). Влияние такого фактора, как самостоятельная работа по физике (самостоятельное изучение), также существенно ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Полный  факторный эксперимент.

      Полный  факторный эксперимент проводился при следующих значениях основных уровней факторов и шагах варьирования:

      Основной  уровень факторов  

      Шаг варьирования   

      Матрица планирования    
 

      Число опытов

      Число параллельных опытов

      Число факторов

       Считываем из файла измеренные значения

      Уровень значимости критерия  

        

      Вычисляем среднее i-го опыта.

      

         

      1. Проверка воспроизводимости эксперимента.

      Оценка  выборочных дисперсий каждого опыта.

         

      Проверка  однородности выборочных дисперсий. Для  этого воспользуемся критерием Кохрэна.

        

         

         

          

      

      Поскольку σ<σ_т, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

      Оценка  дисперсии воспроизводимости эксперимента.

          
 
 

      2. Расчет и проверка значимости коэффициентов модели.

      Линейные  коэффициенты

         

         

      Коэффициенты  взаимодействия

         

      

      

          

          

        

            

      Найденные коэффициенты необходимо оценить на статистическую значимость.