Метод крутого восхождения, или метод Бокса-Уилсона

Содержание 

     Введение…………………………………………………………………..…...3

1 Выборка Y, определение факторов и интервалов их варьирования……..3

1.1 Выбор критерия ……………..……..……………………………..……3

1.2 Определение факторов …..……………………………………….……3

1.3 Определение  интервалов изменения факторов……………………....3

     2 Построение плана проведения полного факторного эксперимента….….4

     3 Определение коэффициентов уравнения регрессии ………....……..……5

        3.1 Определение свободного  члена……………………………….………5

3.2 Вычисление  коэффициентов уравнения, характеризующих 

   линейные  эффекты……………………………………………………..6

        3.3 Определение коэффициентов  уравнения, характеризующих 

           эффекты взаимодействия…………………………………………..…..6

     4 Проверка значимости коэффициентов  регрессии……………….…..……7

        4.1 Определение разброса  в точке…………………………………….….7

        4.2 Определение дисперсии эксперимента…………………………...…..7

        4.3 Среднее квадратическое  отклонение……………………………..…..8

        4.4 Определение доверительного  интервала и значимость 

           коэффициентов уравнения  регрессии……………………………...…8

     5 Вычисление расчетных значений  параметров оптимизации…………….9

     6 Определение критерия Фишера  и проверка модели на адекватность….10

        6.1 Вычисление критерия  Фишера………………………………………10

        6.2 Проверка модели  на адекватность………………………………..….11

     7 Метод крутого восхождения, или  метод Бокса-Уилсона……………….11

     Заключение…………………………………………………..………………13

     Приложение……………………………………………….…………………14 
 
 

     Введение

      В данной работе ставится следующая задача: определить влияние посещенных учебных занятий, факультативов по физике и самостоятельной работы (самостоятельного изучения) на результат выступления на олимпиаде по физике в 11 классе. 

      1 Выборка Y, определение факторов и интервалов их варьирования

      1.1 Выбор критерия

     Критерий (Y): результат выступления учащегося на олимпиаде по физике, количество баллов.

      1.2 Определение факторов

     Факторы:

     1) X₁ − посещенные учебные занятия (в том числе практические и лабораторные занятия) по физике, ч.;

     2) X₂ − посещенные факультативы по физике, ч.;

     3) X₃ − самостоятельная работа по физике, ч.

      1.3 Определение интервалов изменения факторов

     Область определения факторов устанавливается согласно типовой рабочей программе по физике (для учащихся 11 классов) для общеобразовательных школ. Схеме полного факторного эксперимента предусматривает одновременное варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях: верхнем (max), имеющем максимальное значение рассматриваемого фактора и нижнем (min), соответствующем минимальному значению фактора. Интервалы изменения факторов в эксперименте представлены в таблице 1. 
 

      Таблица 1 − Интервалы варьирования факторов в эксперименте

 

      2 Построение плана  проведения полного факторного эксперимента

      При известном значении числа факторов, можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов.

       ,                                                                                                               (1)

     где − количество экспериментов, − число факторов эксперимента.

      Подставив значение числа факторов, вычислим количество экспериментов по формуле 1:  

      План  эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемой функции, называемой параметром оптимизации. Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа и результаты опытов представлены в таблице 2.

      Таблица 2 − Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа с эффектом взаимодействия первого порядка и результаты опытов

      Таким образом, построен полный факторный  эксперимент  . Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней трех факторов. 

      3 Определение коэффициентов уравнения регрессии

      Для полного факторного эксперимента типа уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить следующим выражением:

                                                                                       (2)

      или ,                                  (3)

     где − свободный член уравнения регрессии;

      − коэффициент линейного эффекта;

      − коэффициент эффекта парного взаимодействия;

      − число факторов;

      и  − факторы эксперимента.

      Получение модели сводится к нахождению по результатам эксперимента значений неизвестных коэффициентов. 

      3.1 Определение свободного члена

      Свободный член ( ) характеризует результат выступления учащегося 11 класса на олимпиаде по физике в центре плана. Коэффициент вычисляется по следующей формуле:

       ,                                                                                                      (4)

     где  − параметр оптимизации экспериментальный;

      − число опытов;

      − номер фактора эксперимента;

      − номер опыта.

      Согласно  формуле 4 вычислим коэффициент :

        

      3.2 Вычисление коэффициентов уравнения, характеризующих линейные эффекты

      Коэффициент уравнения рассчитывается по формуле, которая приведена ниже.

       ,                                                                                                   (5)

     где − фактор эксперимента. 

      Найдем коэффициенты для каждого фактора эксперимента:

      

      

        

      3.3 Определение коэффициентов уравнения, характеризующих эффекты взаимодействия

      Коэффициент вычисляется по следующей формуле:

       ,                                                                                               (6)

     где и − номера факторов эксперимента.

      Вычислим  коэффициенты эффекта парного взаимодействия :

      

      

      

      С учетом всех найденных коэффициентов основное уравнение регрессии согласно выражению 3 для полного факторного эксперимента будет выглядеть следующим образом:

                                     (7) 

      4 Проверка значимости  коэффициентов регрессии 

      4.1 Определение разброса  в точке

      Проводим  несколько параллельных опытов в одной точке плана для того, чтобы определить разброс значений в данной точке. Параллельные эксперименты проводим для точки 2:

       ; ; .

      Далее найдем их среднее значение:

        

      4.2 Определение дисперсии эксперимента

      Дисперсия воспроизводимости (адекватности) определяется с помощью повторных опытов в  нулевой точке (центре эксперимента). Дисперсию адекватности вычислим по следующей формуле:

       ,                                                                                               (8)

     где − число повторных опытов

      Для точки 2 получим: