Контрольная работа по "Гидравлика"

     Задание 1-1

     В закрытом резервуаре находится вода, с высотой слоя h₁ = (20 + 2y + 3z) см и другая жидкость с высотой слоя h₂ = (15 + 4y + 2z) см  и относительной плотностью δ = (0.6 + 0.1y + 0.02z).  Определить показание манометра, присоединенного к верхней части резервуара, если ртутный пьезометр, присоединенный к днищу резервуара, показывает h = (10 + y + 2z) см. рт. ст. Уровень ртути ниже дна резервуара на величину а = 0.5 м.

     

     Исходные  данные:

     y = 8; z = 8

     h₁ = (20 +2*8+ 3*8) = 60 см = 0,6 м

     h₂ = (15 + 4*8+2*8) = 63 см=0,63 м

     δ = (0.6 + 0.1*8+0.02*8) = 1,56

     h = (10 +8+ 2*8) = 34 см = 0,34 м 

                 Решение

     Для двух точек горизонтальной плоскости 0-0, которые могут быть соединены в пределах однородной жидкости выполняется условие:

     р_А = р_В,          (1)

где р_А – давление на границе раздела ртути и другой жидкости;

      р_В – давление столба ртути высотой h.

     Воспользуемся основным уравнением гидростатики, согласно которому давление в любой точке  покоящейся жидкости можно определить по формуле:

                     (2)

     где - давление над свободной поверхностью жидкости;

           - плотность жидкости;

            g – ускорение свободного падения;

            H – заглубление точки под свободную поверхность жидкости.

     Тогда, пренебрегая плотностью газа, находящегося над свободной поверхностью жидкости, можно записать:

             (3)

               (4)

     Подставляя выражения (3) и (4) в (1) и решая его относительно р_М, получим:

     

     Учитывая, что относительная плотность ртути  δ_рт = 13.6, получим

     

     Ответ: p_М = 24,9 кПа

 

     Задание 2-1

     В закрытом резервуаре находится жидкость, с относительной силой тяжести δ = (0.7 + 0.02y + 0.05z), на поверхности которой поддерживается постоянное давление р₀. Определить показание закрытого пьезометра h₁, при отсутствии в нем воздуха, если в открытом пьезометре, сообщающемся с атмосферой, уровень жидкости находится ниже уровня той же жидкости в резервуаре на величину h₂ = (40 + 5y + 6z) см. Барометрическое давление воздуха принять эквивалентным В = (720 + 2y + 3z) мм. рт. ст.  

     

     Исходные  данные:

     δ = (0.7 + 0.02*8 + 0.05*8) = 1,26

     h₂ = (40 + 5*8 + 6*8) = 128 см = 1,28 м

     В = (720 + 2*8 + 3*8)= 760 мм рт ст 
 
 
 

                 Решение

     Для двух точек горизонтальной плоскости 0-0, которые могут быть соединены в пределах однородной жидкости выполняется условие равенства давлений.

     Воспользуемся основным уравнением гидростатики, согласно которому давление в любой точке  покоящейся жидкости можно определить по формуле:

               (1)

     где - давление над свободной поверхностью жидкости;

           - плотность жидкости;

            g – ускорение свободного падения;

            H – заглубление точки под свободную поверхность жидкости.

     Тогда, можно записать:

     

     

     Тогда, пренебрегая давлением над жидкостью в закрытом пьезометре, можно записать:

     

     

     

     Учитывая, что относительная плотность ртути  δ_рт = 13.6, запишем:

       

     Ответ:  
 

 

     Задание 3-1

     Затвор  прямоугольной формы высотой  a = (0.5 + 0.1y) м и шириной b = (1.2 - 0.1y + 0.2z) м выдерживает давление воды, глубина которой с одной стороны составляет Н₁ = (4 + 0.2y + 0.1z) м, а с другой  - Н₂ = (1.4 + 0.5y + 0.2z) м. Пренебрегая силой тяжести затвора и трением в шарнире, определить необходимое для открытия затвора усилие Т, действующее под углом α = (45 - 3z)° к горизонту.

   Исходные данные:

   a = (0.5 + 0.1*8) = 1.3 м

   b = (1.2 – 0.1*8 + 0.2*8) = 2,0 м

   Н₁ = (4 + 0.2*8 + 0.1*8) = 6.4 м

   Н₂ = (1.4 + 0.5*8 + 0.2*8) = 7,0 м

   α = (45 – 3*8)° = 21° 
 
 

Решение

     Минимально  необходимую силу для открытия затвора определим из условия его равновесия

     ΣM₀(F_i) = 0.          (1)

т. е. равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на затвор, относительно оси вращения О.

      На  затвор действуют открывающая сила Т и силы гидростатического давления со стороны жидкости справа F₂ и слева F₁ от затвора.

     Сила  давления на плоскую стенку определяется по формуле:

                    (2)

     где ρ – плотность жидкости;

           g – ускорение свободного падения;

           h_с – расстояние от центра тяжести площади стенки F до свободной поверхности жидкости. Согласно [1] прил. 1, координата центра тяжести для прямоугольника s = а/2;

          S – смоченная площадь стенки. В данном случае для прямоугольника

           

      Точка пересечения линии действия силы с плоскостью стенки определяется по формуле

      

      где е – эксцентриситет

     

     где I_с – осевой момент инерции затвора относительно центра тяжести;

           

Тогда можно записать

      

     

     

     Знак  «минус» в вычисленном усилии Т означает следующее. Так как при заданных в условии значениях Н₁ и Н₂ уровень жидкости справа выше, чем слева от затвора, то в данном случае нужно прикладывать усилие, чтобы удержать затвор закрытым, так как давление воды стремится его открыть. Соответственно направление усилия Т нужно изменить на обратное. 

Ответ: T = -8,2 кН.

 

Задание 4-1.

     Труба диаметром d = (100 + 100z) мм закрыта затвором, расположенным под углом α = (50 + 2y)° к горизонту и установлена в резервуаре, заполненном жидкостью с относительной силой тяжести δ = (0.8 + 0.2y + 0.1z) на глубине H = (0.8 + 0.1y) м. Пренебрегая трением в шарнире и силой тяжести затвора, определить необходимое для этого подъема усилие  

   Исходные данные

   d = (100 + 100*8)  = 900 мм

   δ = (0.8 + 0.2*8 + 0.1*8) =3.2

   H = (0.8 + 0.1*8) = 1.6 м

   α = (50 + 2*8)° = 66° 
 
 

РЕШЕНИЕ

     Минимально  необходимую силу для открытия затвора  определим из условия его равновесия

     ΣM₀(F_i) = 0          (1)

т. е. равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на затвор, относительно оси вращения О.

     Сила  давления на плоскую стенку определяется по формуле:

               (2)

     где ρ – плотность жидкости;

          g – ускорение свободного падения;

           h_с – расстояние от центра тяжести площади стенки F до свободной поверхности жидкости. В данном случае h_с = H.

          S – смоченная площадь стенки. Для эллипса

           

     где а – длина малой полуоси  эллипса, a=d/2;

           b - длина большой полуоси эллипса, b = d/(2*sinα).

      Точка пересечения линии действия силы с плоскостью стенки определяется по формуле

      

      где е – эксцентриситет

     

     где I_с – осевой момент инерции площади затвора относительно центра тяжести;

     

     

Тогда можно записать

        

Ответ: T = 14,5 кН.

 

     Задание 5-1

     Цилиндрический  затвор диаметром d = (0.8 + 0.1y + 0.2z) м и длиной l = (2 + 0.6z) м выдерживает одностороннее давление воды,  глубина которой равна диаметру затвора. Определить силу давления воды, а также точку ее приложения на затвор. Построить эпюру давления.

Исходные  данные

d = (0.8 + 0,1*8 + 0.2*8) = 3,2 м

l = (2 + 0.6*8) = 6,8 м 

Решение

     В общем случае для криволинейной стенки сила избыточного гидростатического давления определяется по двум составляющим, горизонтальной и вертикальной:

           

           Горизонтальная составляющая определяется по формуле:

           

           где ρ – плотность  жидкости;

           g – ускорение  свободного падения;

     h_С – расстояние от центра тяжести площади проекции стенки S до свободной поверхности жидкости;

           S – площадь проекции стенки на вертикальную плоскость

           

           

           Вертикальная составляющая силы давления, воспринимаемой криволинейной  стенкой, равна силе тяжести жидкости в объеме V_В, который ограничен стенкой, пьезометрической плоскостью и вертикальной проектирующей поверхностью, построенной на контуре стенки, и определяется по формуле:

           

           где ρ – плотность  жидкости;

           g – ускорение  свободного падения;

           V_В – сила тяжести жидкости в объеме.

           Разделим цилиндрическую поверхность на две половины, верхнюю  и нижнюю.

           

     

    Так как построение тела давления производится со смоченной стороны поверхности, то сила Р_В1 направлена вертикально вниз.