Задачи по "Статистике"

Завод	Выпуск продукции в оптовых ценах, млн руб.	Средняя выработка на одного рабочего, тыс. руб.
1	20,0	40,0
2	30,0	50,0

 

Решение

Определяем количество рабочих по каждому заводу:

Ч	=	Выпуск продукции
		Средняя выработка на одного рабочего

 

Завод	Выпуск продукции в оптовых ценах, млн руб.	Средняя выработка на одного рабочего, тыс. руб.	Количество рабочих (чел.)
1	20,0	40,0	500
2	30,0	50,0	600

Определяем среднюю выработку за месяц на одного рабочего по двум заводам в целом:

 млн. руб. или 45,45 тыс. руб.

Задача 28

Распределение рабочих по размеру их средней месячной заработной платы в одном из цехов промышленного предприятия характеризуется следующими показателями:

Размер зарплаты, тыс. руб.	6,0 – 8,5	8,5 – 11,0	11,0 – 13,5	13,5 – 16,0
Число рабочих, чел.	26	112	210	52

Определите среднюю заработную плату (двумя способами); среднеквадратическое отклонение (двумя способами); коэффициент вариации; моду и медиану.

Решение

Находим среднюю заработную плату двумя способами: как среднюю взвешенную и по способу моментов.

Составляем таблицу промежуточных вычислений:

Группы	Середина интервала, xi	Число рабочих, чел, fi	xi · fi
6 – 8,5	7,25	26	188.5
8,5 – 11	9,75	112	1092
11 – 13,5	12,25	210	2572.5
13,5 – 16	14,75	52	767
Итого		400	4620

 

Средняя взвешенная:

 

Среднее значение по способу моментов:

где А – условный нуль, равный середине интервала с максимальной частотой (А=12,25), h – шаг интервала (h = 2,5).

xi
7,25	-2	–52	104
9,75	-1	–112	112
12,25	0	0	0
14,75	1	52	52
		–112	268

 

Находим среднеквадратическое отклонение.

Составляем таблицу промежуточных вычислений

Группы	Середина интервала, xi	Число рабочих, чел, fi			Накопленная частота, S
6 – 8,5	7,25	26	111,8	480,74	26
8,5 – 11	9,75	112	201,6	362,88	138
11 – 13,5	12,25	210	147	102,9	348
13,5 – 16	14,75	52	166,4	532,48	400
Итого		400	626,8	1479

 

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение по способу моментов:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности:

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 – частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 11, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 11,96

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 11 – 13,5, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 11,74.

Задача 35

По предприятию на четыре года предусматривался следующий рост производительности труда к уровню 2000 года, в %:

Годы	Темп роста производительности труда, %
2001	102
2002	104
2003	105
2004	108

Фактически темп роста производительности труда составил в 2001 году 102,5 %, а в 2002 году по сравнению с уровнем 2001 года – 99,4 %.

Определите, какими должны быть темпы роста в оставшиеся два года, чтобы в 2004 году выйти на уровень производительности труда, который предусматривался прогнозом по предприятию.

Решение

Находим прогнозный средний темп роста по формуле средней геометрической:

Таким образом, чтобы достичь уровня производительности труда, предусматриваемого прогнозом, необходимо обеспечить  такой средний темп роста.

Находим темп роста для 2003 года:

Решаем это уравнение и находим:

Таким же образом находим темп роста для 2004 года:

Отсюда

Получаем

Годы	Прогнозный темп роста производительности труда, %	Фактический темп роста производительности труда, %
2001	102	102,5
2002	104	99,4
2003	105	112,73
2004	108	104,74

 

В результате того, что темп роста в 2002 году значительно упал, пришлось его увеличить в 2003 году, чтобы достичь прогнозного уровня производительности труда к 2004 году.

 

Задача 42

Имеются следующие данные о добыче угля и численности промышленно-производственного персонала на двух шахтах за июнь и июль:

Шахта	июнь		июль
	Добыча угля, т	Число работников, чел.	Добыча угля, т	Число работников, чел.
№ 1	24000	600	48000	800
№ 2	22000	1100	17500	700

Требуется определить натуральные индексы производительности труда переменного и фиксированного составов, а также индекс структурных сдвигов. Объясните взаимосвязь этих трех индексов.

Решение

Находим показатели производительности труда по формуле:

П	=	Добыча угля
		Число работников

 

Шахта	июнь		июль
	Производительность труда	Число работников, чел.	Производительность труда	Число работников, чел.
№ 1	40	600	60	800
№ 2	20	1100	25	700

 

Находим индекс производительности труда переменного состава:

Средняя производительность труда за отчетный период:

Средняя производительность труда за базисный период:

Соответственно, индекс производительности труда переменного состава (индекс средних величин) будет представлять собой отношение:

За счет всех факторов производительность труда возросла на 61,38%

Индекс производительности труда фиксированного (постоянного) состава:

За счет изменения структуры производительности, средняя производительность возросла на 42,39%

Индекс влияния изменения структуры выработки на динамику средней производительности труда.

Отсюда видно, что индекс структурных сдвигов равен отношению индекса переменного состава и индекса фиксированного состава, т.е.:

За счет изменения структуры выработанной продукции средняя производительность труда возросла на 13.33%

Задача 49

Имеются следующие данные о производстве и себестоимости кокса на предприятиях за I квартал:

Производство кокса, тыс. т	41	76	97	192	248	297	365	412	627
Себестоимость одной тонны кокса, тыс. руб.	3,4	3,2	3,0	3,1	2,8	2,6	2,4	2,5	2,2

Изучите зависимость себестоимости кокса от объема производства, применив метод корреляционного анализа.

Постройте уравнение прямой и вычислите коэффициент корреляции.

Нанесите на график фактические данные и линию регрессии. Сделайте выводы.

Решение

Строим поле корреляции

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a

Для построения данного уравнения применим метод наименьших квадратов, для чего необходимо решить систему уравнений:

Для расчета параметров регрессии составим таблицу промежуточных вычислений:

№	x	y	x2	y2	x·y
1	41	3,4	1681	11,56	139,4
2	76	3,2	5776	10,24	243,2
3	97	3	9409	9	291
4	192	3,1	36864	9,61	595,2
5	248	2,8	61504	7,84	694,4
6	297	2,6	88209	6,76	772,2
7	365	2,4	133225	5,76	876
8	412	2,5	169744	6,25	1030
9	627	2,2	393129	4,84	1379,4
Сумма	2355	25.2	899541	71.86	6020.8