Выборочные наблюдения

  Рассматривать генеральную совокупность в разрезе  нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых  признаков по группам существенно  различаются. Например, с большой  уверенностью можно предположить, что  доходы населения крупного города будут  в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно ниже среднего возраста занятого населения, и тем более пенсионеров. В то же время нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым. Например, при изучении доходов населения вряд ли улучшению результатов выборочного обследования будет способствовать деление населения на группы на основе первой буквы фамилии, так как маловероятно, что доходы людей, чья фамилия начинается с букв от А до К, будут существенно выше или ниже доходов лиц, носящих фамилию, начинающуюся с букв в интервале Л-Я.

  Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осуществляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции  обязательно попадают представители  всех групп, типизация генеральной  совокупности позволяет исключить  влияние межгрупповой дисперсии  на среднюю ошибку выборки. В то же время в выделении типических группах обследуются далеко не все  единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величину полученной ошибки будет влиять различие между  единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая  вариация. Поэтому ошибка типической выборки будет определяться величиной  не общей дисперсии, а только ее части - средней из внутригрупповой дисперсий.

  Отбор единиц в типическую выборку может  быть организован либо пропорционально  объему типических групп, либо пропорционально  внутригрупповой вариации (дифференциации) признака.

  При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

                                                       (1.3)

   где - объем i-й группы

     - объем выборки из i-й группы. 

  1.3. Собственно-случайная  (простая случайная)  выборка.

  Случайная выборка - способ отбора, при котором  каждый элемент  генеральной совокупности имеет некоторую отличную от нуля вероятность  быть отобранным. Различают простой случайный отбор  (ПСО), когда вероятности попасть в выборку для каждого элемента равны (и отличны от нуля), и собственно случайный, или вероятностный, отбор. Реализовать процедуру ПСО можно двумя приемами: лотерейным методом и с помощью таблицы случайных чисел. При использовании лотерейного метода все элементы генеральной совокупности нумеруются числами от 1 до N, затем жетоны с номерами помещают в урну, тщательно перемешивают и извлекают последовательно n жетонов. Элементы совокупности, имеющие эти номера, и будут составлять выборку. Выделяют две схемы ПСО: отбор с возвращением (схема  Боули), когда извлеченный жетон опять возвращается в урну, и отбор "без возвращения" (бесповторный). В схему Боули все испытания поставлены в одинаковые условия и независимы друг от друга. В схеме "без возвращения" состав урны после каждого испытания изменяется, в итоге несколько снижается средняя ошибка выборки  и повышается устойчивость ее результатов. Однако если генеральная совокупность  достаточно велика и доля отбора не превышает 5%, то схема "без возвращения" практически равноценна схеме Боули. Рассмотренные схемы, являясь классическим примером реализации ПСО, на практике становятся чрезвычайно трудоемкими, т. к. для обеспечения равного шанса выбора требуется тщательное перемешивание жетонов. Поэтому при формировании равновероятной выборки элементов их больших совокупностей пользуются таблицами случайных чисел. Отметим, что при организации ПСО все элементы генеральной совокупности должны быть пронумерованы. Случайным образом могут отбираться не только элементы совокупности, но и целые группы, состоящие в общем случае из различного числа элементов. Конкретное сборочное исследование  обычно представляет собой сложную систему, в которой переплетаются различные схематичные элементы в сочетании с районированием, организацией многоступенчатого отбора и др. приемов формирования выборки. В основе построения любой выборки лежат два основных принципа: избежать смещенности результатов и добиться максимальной точности при заданных издержках. Единственный способ избежать смещений заключается в строгом соблюдении методики случайного отбора. Планы выборок могут отличаться разнообразием приемов, позволяющим повысить точность и снизить затраты на проведение исследования.

  Прежде  чем производить собственно-случайный  отбор, необходимо убедиться, что все  без исключения единицы генеральной  совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в  списках или перечне отсутствуют  пропуски, нет игнорирования отдельных  единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение  или невключение в нее отдельных  единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании  торговых предприятий  необходимо указать, включит ли генеральная  совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки, передвижные торговые точки  и прочие подобные объекты; при обследовании студентов важно определить, будут  ли приняты во внимание студенты-заочники, экстерны, учащиеся в магистратуре, лица, находящиеся в академическом  отпуске и т.п. 

 

2. Расчетная часть 

2.1. Решение задач  по теме механическая (систематическая) выборка.

  Задача 1. В области зарегистрировано 6000 малых предприятий. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определений средней численности занятых с ошибкой человека (P=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение численности занятых составляет 9 человек. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (1.2):

  n=

  С учетом полученного необходимого объема выборки (177 предприятий) определим  интервал отбора:

  6000:177=33,9

  Определенный  таким образом интервал всегда округляется  в меньшую сторону, так как  при округлении в большую сторону  произведенная выборка не достигает  рассчитанного по формуле необходимого объема. Следовательно, в нашем примере  из общего регистра малых предприятий  необходимо отбирать каждое 33-е предприятие. При этом процент отбора составит 3,03 % (100%:33).

  Задача 2. В городе А 10 тыс. семей. В порядке механической выборки предполагается определить долю семей в городе А с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2. Рассчитаем необходимую численность выборки:

                    n = 4· 0,2 · 10 000 / (0,02)2 · 10 000 + 4 ·  0,2 = 1 666 семей

      При повторном способе отборки  численность выборки рассчитывается  по формуле:

                                           n = w (1-w) t2 / Δ2

      При типической (районированной) выборке  генеральная совокупность разбивается  на однородные типические группы  по какому-либо признаку или  районы. Из каждой типической  группы или района в случайном  порядке отбираются единицы выборочной  совокупности. Отбор единиц из  типов может производиться тремя  методами: пропорционально численности  единиц типических групп, непропорционально  численности единиц типических  групп, пропорционально колеблемости  в группах.

      Рассмотрим типическую выборку  с пропорциональным отбором единиц  из типических групп. Объем  выборки из типической группы  при отборе, пропорциональном численности  единиц типических групп, определяется  по формуле

                            = n ·  

    где  — объем выборки из типической группы;

    n — общий объем выборки;

    — объем типической группы;

    N — объем генеральной совокупности.

      Средняя ошибка выборочной средней  при бесповторном случайном                  и механическом способе отбора  внутри типических групп рассчитывается  по формуле (1.2), где  - средняя из выборочных дисперсий типических групп. 

 

  2.2. Решение задач  по теме типическая (стратифицированная) выборка

  Задача 1. Общая численность населения области составляет 1 млн. чел., в том числе городского – 600 тыс. чел. И сельского – 400 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 50 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп:

  городское населения - = 50000* = 30000 чел.;

  сельское  население - = 50000* = 20000 чел.

  Процесс формирования данной выборки представлен  на рисунке 1 (см. Приложение). Средняя  ошибка типической выборки определяется по формулам:

       (повторная выборка)                       (1.4)

   (бесповторная выборка)     (1.5)

  где - средняя из выборочных дисперсий типических групп.

  Рассмотрим  данный вариант типической выборки  на условном примере.

  10-% бесповторный типический отбор  работников предприятия, пропорциональный  размерам цехов, проведенный с  целью оценки потерь из-за временной  нетрудоспособности, привел к следующим  результатам (табл. Результаты обследования  работников предприятия в Приложении).

  Рассчитаем  среднюю из внутригрупповых дисперсий:

   = =

  Определим среднюю и предельную ошибки выборки (с вероятностью 0,954):

   = 0.29;

  

  Рассчитаем  выборочную среднюю:

   = 14.6 дня. 

  В результате проведенных расчетов с  вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной  нетрудоспособности одного работника  в целом по предприятию находится  в пределах:

  14,6-0,58

14.6+0.58/

  При определении необходимого объема типической выборки в рассмотренных выше формулах (1.4) и (1.5) общую дисперсию  наблюдаемого признака необходимо заменить на среднюю из внутригрупповых дисперсий. Тогда данные формулы примут следующий  вид:

  n =         (повторный отбор)                      (1.6)

    n =         (бесповторный набор)    (1.7)

  Предположим, в рассмотренном выше примере  нам необходимо определить среднее  число дней временной нетрудоспособности одного работника с предельной ошибкой 0,5 дня. Учитывая величину полученной ранее  средней из внутригрупповых дисперсий  определим необходимый объем  типической выборки при условии  бесповторного объема:

    n =   = 420.4/

  Таким образом, мы получили, что при заданных условиях для достижения требуемой  точности необходимо обследовать выборочным методом не менее 421 чел. Распределим  эту численность на три цеха рассматриваемого предприятия пропорционально их размерам:

   = 421 = 131.6

   = 421 = 184.2