Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

         

где , - среднее квадратическое отклонение рядов у_t и у_t+1 соответственно.

      Если  значение последнего уровня (у_n) ряда мало отличается от первого (у₁), то сдвинутый ряд не укорачивается, его можно условно дополнить, принимая у_n = у₁. Тогда у_t = у_t+1 и = , поскольку рассчитываются они для одного и того же ряда. При такой замене, т. е. если _{t t+1} и ,формула коэффициента автокорреляции примет вид:

                        

      Если  ряд динамики состоит из уровней, среднее значение вторых равно нулю ( = 0), то выражение yпрощается: 

             .

      Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициентов автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-ного или 1%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда).

      (Одна  из специальных таблиц, в которой  определена критическая область проверяемой гипотезы (об отсутствии автокорреляции), составленная Р. Андерсеном в 1942 г., приведена в приложении 12.)

      Если  фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, можно сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

      Для уменьшения автокорреляции применяют  различные методы. Bсе они преследуют цель исключения основной тенденции (тренда) из первоначальных данных.

Самым распространенным примером выявления  наличия автокорреляции в отклонениях  от тренда или от регрессионной модели является использование критерия Дарбина - Уотсона, который рассчитывается по формуле

      

где е_t ⁼ у_t - .

     Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

      При условии, что отклонения уровней  от тенденции (так называемые остатки) случайны, значения D, лежащие в интервале 0 - 4, всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положительная, то D < 2; отрицательная - 2< = D < = 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Их значения для трех уровней значимости (α = 0,01, α= 0,025 и α = 0,05) с учетом числа наблюдений даны в специальных таблицах.

    Существует  ряд способов исключения или уменьшения автокорреляции (авторегрессии) в рядах  динамики:

    а) метод включения времени в качестве дополнительного фактора;

          б) метод последовательных разностей;

    в) метод авторегрессионных преобразований.

    Рассмотрим  эти способы исключения автокорреляции (авторегрессии).

    В соответствии с теоремой, доказанной Фришем и Boy, время вводится в систему связных динамических рядов в явной форме в качестве дополнительного фактора. Уровни исходных динамических рядов могут быть представлены показателями в любой форме, в том числе логарифмической, а время всегда вводится в линейной форме. Считается, что введение фактора времени исключает основную тенденцию развития всех явлений, представленных исследуемыми рядами динамики. Доказано, что введение времени аналогично использованию отклонения фактических данных от трендов.

    Применение метода наименьших квадратов к обработке многомерных временных рядов не отличается от методологии применения его к обычным статистическим рядам. В рассматриваемом случае минимизируется следующее выражение:

S =

min.

      При исключении автокорреляции методом последовательных разностей

 обработке  методом наименьших квадратов  подвергаются не сами уровни исходных рядов у_t , y_t+1, ..., У_t+n, и х_t, х_t+1, ..., x_t+n, а последовательные разности между ними:

Δy₁=y_t-y_t-1;                       Δx_t=x_t-x_t-1;

Δy₂=y_t-1-y_t-2; Δx₂=x_t-1-x_t-2;

…………… …………….

…………… …………….

Δy_k=y_t-k-y_t-k-1; Δx_k=x_t-k-x_t-k-1.

    При использовании этого метода исходят  из того , что все разности между  уровнями динамических рядов, начиная  с первой, будут содержать только случайную компоненту. Причем первые разности содержат случайную компоненту в линейной форме, вторые - описываемую параболой второго порядка, третьи - показательной функцией.

    Метод авторегрессионных преобразований заключается в том, что определяют уравнение связи между отклонениями от тенденций двух связных рядов динамики:

      

         

      …………. ………….

      ………… ………….

                                                                     

    В этом случае также получают уравнения  регрессии, не искаженные влиянием автокорреляции.

    Введение  времени в качестве дополнительной переменной является наиболее действенным  способом обработки связных рядов динамики. При линейной связи между исследуемыми рядами этот способ более точен, чем использование последовательных разностей или отклонений от трендов.

      При обработке методом наименьших квадратов  последовательных разностей или  отклонений от трендов обрабатываются чисто случайные величины.

КОРРЕЛЯЦИЯ  РЯДОВ ДИНАМИКИ

      При изучении развития явления во времени  возникает необходимость оценить  степень взаимосвязи в изменениях уровней двух или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

1. уровней ряда динамики;

2) отклонений фактических уровней от тренда;

3) последовательных разностей, т. е. путем исчисления парного коэффициента корреляции.

Коррелирование  уровней ряда динамики правильно показывает тесноту связи между рядами динамики лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция.

В этом случае величину коэффициента корреляции находят по формуле

      

      где х_i - уровни факторного ряда динамики;

               у_i - уровни результативного ряда динамики.

      Следовательно, прежде чем коррелировать ряды динамики (по уровням), необходимо проверить  каждый из рядов на наличие или  отсутствие в них автокорреляции (при помощи коэффициента автокорреляции). В случае наличия автокорреляции между уровнями ряда последняя должна быть устранена.

Рассмотрим  способы ее исключения в рядах  динамики. Коррелирование отклонений от выравненных уровней (тренда). Этот способ состоит в том, что коррелируют не сами уровни, а отклонения фактических уровней от выравненных, отражающих тренд, т. е. коррелируют остаточные величины. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по определенной, характерной для него аналитической формуле, затем из эмпирических уровней вычитают выравненные (т. е. находят d_x = х_t - ;d_y = у_t - ;) и определяют тесноту связи между рассчитанными отклонениями (d_x и d_y ) по формуле 

                                              

     Коррелирование последовательных разностей. Исключить влияние автокорреляции можно путем вычитания из каждого уровня предшествующего ему, т. е. находя разности уровней (у_i – у_i-1).При переходе от уровней к их разностям исключается влияние общей тенденции на колеблемость. При этом при изменении уровней по прямой можно коррелировать первые разности, при изменении по параболе n-го порядка - n-е разности. Формула коэффициента разностей, используемая для измерения тесноты связи между исследуемыми рядами, имеет вид:

        

     Коэффициент корреляции, рассчитанный для измерения  тесноты зависимости изменения уровней двух рядов, является средним, обобщающим показателем. Однако для длительного периода эта зависимость может меняться во времени. Поэтому чтобы судить о том, в какие периоды зависимость между изменениями уровней двух рядов слабая или сильная, надо рассчитывать серию скользящих коэффициентов корреляции для определенного интервала времени.