Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

           

В тех  случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет  параметров функции производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:

                                   

где - выравненные (расчетные) уровни; у_i - фактические уровни. Параметры уравнения а_i удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней у_i изменяющимися уровнями , наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

  •  Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

  •  Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т. е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

  Рассмотрим  «технику» выравнивания ряда динамики по прямой:

  

= а₀ + a₁t,

  Параметры а₀ и а₁ согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия: 

                                                                                   
 

  где у — фактические (эмпирические) уровни ряда; t — время (порядковый номер периода или момента времени).

  Расчет  параметров упрощается, если за начало отсчета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

  При четном числе уровней (например, 4), значения t — условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):.

       1996г.    1997г.    1998г.    1999г.   

            -3            -1          +1           +3         

При нечетном числе уровней (например, 5) значения устанавливаются по-другому:

        1996 г   1997г.   1998г.   1999г.   2000г.

          -2           -1           0            +1     +2

      В обоих случаях Σ t = 0, так что система нормальных уравнений принимает вид:

                                             

Из первого  уравнения 

Из второго  уравнения   

Методы  изучения сезонных колебаний

   При сравнении квартальных и месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времен года. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми.

   K сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодовых изменений, т. е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

   В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания» или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

     Значительной колеблемости во  внутригодовой динамике подвержены  денежное обращение и товарооборот.  Сезонные колебания отрицательно  влияют на результаты производственной деятельности, вызывая нарушения ритмичности производства.

      Комплексное регулирование сезонных изменений  должно основываться на исследовании сезонных колебаний.

      Cуществует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности I_s Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

      Индексами сезонности являются процентные отношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней к теоретическим (расчетным) уровням, выступающим в качестве базы сравнения.

      Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонности вычисляют по данным за несколько лет (не менее трех), распределенным по месяцам.

      Если  ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

      Для каждого месяца рассчитывается средняя  величина уровня, например за три года ( ), затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда После чего определяется показатель сезонной волны — индекс сезонности I_s как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %: 

                                              I_s = 100%.            

      где — средний уровень для каждого месяца (минимум за три года);

           ~ среднемесячный уровень для всего ряда.

      Для наглядного представления сезонной волны исчисленные индексы сезонности изображают в виде графика. 

      Когда уровень проявляет тенденцию  к росту или снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания. В таких случаях фактические данные сопоставляются с выравненными, т. е. полученными аналитическим выравниванием.

      Формулу для расчета индекса сезонности, %, в этом случае можно записать так: 

                                       

      где u - фактические и расчетные (выравненные) уровни одноимённых внутригодовых периодов (соответственно); п — число лет.

      Экстраполяция в рядах динамики и прогнозирование

      Необходимым условием регулирования рыночных отношений является составление надежных прогнозов развития социально-экономических явлений.

      Выявление и характеристика трендов и моделей  взаимосвязи создают базу для прогнозирования, т. е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

      Экстраполяция это нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т. е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция). Поскольку в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

      Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим формулам. Зная уравнение для теоретических уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t вероятностные .

      На  практике результат экстраполяции  прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

      Для определения границ интервалов используют формулу: 

                                                

      t_α— коэффициент доверия по распределению Стьюдента; 

       - остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (п - т);

      п — число уровней ряда динамики;

      т — число параметров адекватной модели тренда (для уравнения

      прямой  т = 2). Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

                   

      Нужно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит не только приближенный, но и условный характер.  
 

      Число степеней свободы — число элементов статистической совокупности, вариация которых свободна (неограничена).

      Стьюдент — псевдоним английского математика и статистика Уильяма С. Госсета, разработавшего метод статистических оценок и проверки гипотез t-распределения, не являющегося нормальным. 

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ СВЯЗНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

      Многомерные временные ряды, показывающие зависимость  результативного признака от одного или нескольких факторных, называют связными рядами динамики. Применение методов наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует предположений о законах распределения исходных данных. Но при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов надо учитывать наличие автокорреляции (авторегрессии), которая не учитывалась при обработке одномерных рядов динамики, поскольку ее наличие способствовало более плотному и четкому выявлению тенденции развития рассматриваемого социально-экономического явления во времени.

    В значительной части рядов динамики экономических процессов между уровнями существует взаимосвязь. Ее можно представить в виде корреляционной зависимости между рядами у₁, у₂, у_3,…у_n и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени y _{1+ h}, y _2+h, y_3+h …y _n+h. Временное смещение L называется сдвигом, а само явление взаимосвязи - автокорреляцией.

    Автокорреляционная  зависимость существенна между  последующими и предшествующими уровнями ряда динамики.

    При анализе нескольких взаимосвязанных рядов динамики важно установить наличие и степень их автокорреляции(поскольку классические методы математической статистики применимы лишь в случае независимости отдельных членов ряда между собой).

Различаются два вида автокорреляции:

  1) автокорреляция в наблюдениях за одной или более переменными;

  2) автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.

     Наличие последней приводит к искажению  величин средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости.

      Автокорреляцию  измеряют при помощи нециклического коэффициента автокорреляции, который рассчитывается не только между соседними уровнями, т. е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (L). Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициентов автокорреляции: первого порядка (при L = 1), второго порядка (при L = 2) и т.д.

  Формулу коэффициента автокорреляции можно  записать следующим образом: