Средний уровень ряда характеризует обобщённую величину абсолютных уровней. Он рассчитывается по средней хронологической, т. е. по средней исчисленной из значений, изменяющихся во времени.

     Методы  расчета среднего уровня интервального  и моментного рядов динамики различны.

     Для интервальных рядов  динамики из абсолютных уровней средний уровень за период времени определяется по формуле средней арифметической:

•  при равных интервалах применяется средняя арифметическая простая:

где у - абсолютные уровни ряда; n -число уровней ряда.

•   при неравных интервалах — средняя арифметическая взвешенная:

  

  где у₁,...,y_n — уровни ряда динамики, сохраняющиеся без изменения в течение промежутка времени t,

  t₁,..., t_n — веса, длительность интервалов времени (дней, месяцев) между смежными датами.

   Средний уровень моментного ряда динамики с равностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической моментного ряда: 

где у₁,..., y_п ~ уровни периода, за который делается расчет;

п — число уровней;

п - 1 — длительность периода времени.

  Средний уровень моментных рядов с неравностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

где у_i ,y_n - уровни рядов динамики;

t_i — длительность интервала времени между смежными уровнями.

   .

    Обобщающий показатель скорости  изменения уровней во времени - средний абсолютный прирост (убыль), представляющий собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет можно рассчитать средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

                                            

где п - число цепных абсолютных приростов ( ) в изучаемом

      периоде.                                          

  Средний абсолютный прирост  определим через  накопленный (базисный) абсолютный прирост  (Δу^б)- Для случая равных интервалов применим следующую формулу:

                                      

где т - число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

     Сводной обобщающей характеристикой  интенсивности изменения уровней  ряда динамики служит средний темп роста (снижения), показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

Средний темп роста (снижения) — обобщенная характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа роста (снижения) применяется определяющий показатель — произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Следовательно, если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, нужно применять среднюю геометрическую.

Поскольку средний темп роста представляет собой средний

коэффициент роста, выраженный в процентах  ( = *100).

, то  для равностоящих рядов динамики  расчеты по средней геометрической сводятся к исчислению средних коэффициентов роста из цепных коэффициентов роста (по «цепному способу»):

где п — число цепных коэффициентов роста;

  К^ц_р1 , ..., К^ц_рп - цепные коэффициенты роста;

    К^б_р — базисный коэффициент роста за весь период. 

Если  известны уровни динамического ряда, то расчет среднего коэффициента роста упрощается. Так как произведение Цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляется базисный коэффициент роста. Базисный коэффициент получается непосредственно как частное от деления уровня последнего периода у_п на уровень базисного периода у₀.

Тогда формула для расчета среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики (по «базисному способу»): 

 

где т - число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

  Средние темпы прироста (сокращения) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100 %. Соответственно при исчислении средних коэффициентов прироста из значений коэффициентов роста вычитается единица:

                                      

где - средний темп прироста, — средний коэффициент прироста

  Если  уровни ряда динамики снижаются, то средний  темп роста будет меньше 100%, а средний темп прироста — отрицательной величиной. Отрицательный темп прироста представляет собой средний темп сокращения и характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.

Сравнительные характеристики направления и интенсивности роста одновременно развивающихся во времени явлений определяются приведением рядов динамики к общему (единому) основанию и расчетом коэффициентов опережения (отставания).

       Ряды динамики (в которых возникают,  например, проблемы сопоставимости цен сравниваемых стран, методики расчета сравниваемых показателей и т.п.) приводят к одному основанию, если они не могут быть решены другими методами. По исходным уровням нескольких рядов динамики определяют относительные величины — базисные темпы роста или прироста. Принятый при этом за базу сравнения период времени (дата) выступает в качестве постоянной базы расчетов темпов роста для каждого из изучаемых рядов динамики. В зависимости от целей исследования базой может быть начальный, средний или другой уровень ряда.

       Сравнение интенсивности изменений  уровней рядов во времени возможно с помощью коэффициентов опережения (отставания),

представляющих  собой отношение базисных темпов роста (или прироста) двух рядов динамики за одинаковые отрезки времени:

                                
где , , ^— базисные темпы роста и прироста

первого и второго рядов динамики (соответственно).

  Коэффициенты  опережения (отставания) могут быть исчислены на основе сравнения средних темпов роста (или прироста) двух динамических рядов за одинаковый период времени:

                                      

где , - средние темпы роста первого и второго рядов динамики соответственно; п — число лет в периоде.

Коэффициент опережения (отставания) показывает, во сколько раз быстрее растет (отстает) уровень одного ряда динамики по сравнению с другим. При этом сравнении темпы должны характеризовать тенденцию одного направления. 

Методы  анализа основной тенденции развития в рядах динамики

Важной  задачей статистики является определение  в рядах динамики общей тенденции развития явления.

Иногда  закономерность изменения явления, общая тенденция его развития отчетливо отражается уровнями динамического  ряда (уровни на изучаемом периоде  непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако  часто приходится встречаться с  такими рядами динамики, в которых уровни ряда постоянно изменяются  (то возрастают, то убывают), и общая тенденция  неясна.

На развитие явления во времени оказывают  влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции.

Основной  тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача  состоит в том, чтобы выявить  общую тенденцию в изменении  уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

       Одним из наиболее простых  методов изучения основной тенденции  в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

       Выявление основной тенденции  может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

     Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с  фактическим, а следовательно, потеря информации.

Рассмотренные приемы  дают возможность определить общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда нельзя.

     Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

     Основным  содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

                                          

  где — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

  Определение теоретических (расчетных) уровней  производится на основе адекватной математической модели, которая отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

     Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом  анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

  Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

  линейная  функция — прямая   = а₀ + a₁t,

                                      где а₀ и а₁ — параметры уравнения;

                                            t— время;

показательная функция- ,

  степенная функция — кривая второго порядка (парабола)