Ряды динамики

Темп роста — это отношение двух уровней ряда динамики. Он показывает, во сколько раз больше (или меньше) или сколько процентов данный уровень составляет по отношению к другому уровню, взятому для сравнения. В первом случае темп роста выражается в коэффициентах, во втором — в процентах.

Цепной темп роста Tц исчисляется как отношение между сравниваемым (текущим) уi и предшествующим ему уровнем yi-1

Базисный темп роста Tб исчисляется как отношение между сравниваемым уровнем уi и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения,y0:

Если темп роста меньше единицы, то имеет место не рост, а снижение (падение) анализируемого уровня. Цепные темпы роста характеризуют относительную скорость (интенсивность) изменения уровней ряда динамики.

Последовательное произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах, за определенный период времени дает базисный темп роста за этот же период. Отношение анализируемого базисного темпа роста к предыдущему дает соответствующий цепной темп роста.

Темп прироста — это отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения. Он обычно выражается в процентах и показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного.

Цепной темп прироста ∆Tц исчисляется как отношение цепного абсолютного прироста ∆yц к предыдущему уровню yi-1:

Базисный темп прироста ∆Tб исчисляется как отношение базисного абсолютного прироста ∆yб базисному уровню y0:

Темп прироста ∆T вычисляется и как разность между темпом роста T, выраженным в процентах, и 100%:

Темп прироста может быть как положительной, так и отрицательной величиной. В первом случае это свидетельствует о положительной динамике (росте), а во втором — об отрицательной динамике (снижении).

Абсолютное значение одного процента прироста Аi% — это отношение абсолютного прироста ∆yi за определенный период (обычно за год) к темпу прироста ∆Ti за этот же период, выраженному в процентах. Этот показатель раскрывает, какая абсолютная величина скрывается за относительной — одним процентом прироста.

Следовательно, количественно абсолютное значение одного процента прироста равно одной сотой части уровня, предшествующего анализируемому. Если в исследуемый период наблюдалось снижение, а не рост явления, характеризуемого рядом динамики, то рассчитывается соответственно абсолютное значение одного процента не прироста, а снижения. Выражается абсолютное значение одного процента прироста (или снижения) в единицах измерения уровней анализируемого ряда динамики.

4.

Уровни и аналитические показатели рядов динамики изменяются во времени. Поэтому для получения обобщающей характеристики динамики социально-экономических явлений широко используются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Средний уровень ряда динамики характеризует типичную величину абсолютных уровней. Он называется также

средней хронологической, или временной средней. Средний уровень ряда рассчитывается по-разному для моментных и интервальных рядов динамики.

Для интервальных рядов с равноотстоящими уровнями применяется средняя арифметическая простая:

где у — уровни интервального ряда; п — количество равных периодов времени.

Так, среднегодовое производство бумаги (см. табл. 8.3.1) за 1992 — 1997 гг. будет равно:

 

В интервальных рядах с неравноотстоящими уровнями используется средняя арифметическая взвешенная:

где t — периоды времени, отделяющие один уровень ряда от другого.

В моментом ряду динамики с равноотстоящими уровнями средний уровень определяется по формуле определяется по формуле

а с неравноотстоящими датами применяется более сложная формула:

Рассмотрим для примера моментный ряд, характеризующий изменение численности работников фирмы за отчетный год по состоянию на начало каждого квартала:

На 1.01.1997 г.	На 1.04.1997 г.	На 1.07.1997 г.	На 1.10.1997 г.	На 1.01.1998 г.
162	160	163	167	170

Этот моментный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. Среднеквартальная численность работников фирмы за год составит:

Средний абсолютный прирост является обобщающим показателем скорости абсолютного изменения уровней динамического ряда. Он показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за анализируемую единицу времени. Это периодический показатель. Поэтому средний абсолютный прирост (∆ ) рассчитывается по средней арифметической простой цепных абсолютных приростов (∆yц) за последовательные и равные по продолжительности периоды:

где п — число уровней ряда динамики; п-1 — число цепных абсолютных приростов.

Применение данной формулы проиллюстрируем на данных табл. 8.3.1:

Обобщающим показателем индивидуальных темпов роста уровней ряда динамики является средний темп роста ( ), который рассчитывается по формуле средней геометрической цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах. Если анализируемый период разбит на равные отрезки времени, то средний темп роста рассчитывается по формуле

где т=п-1 — число цепных темпов роста.

Если же отрезки времени имеют различную продолжительность, то применяется формула средней геометрической взвешенной:

Ti— продолжительность i-х отрезков времени.

Средний темп прироста является обобщающим показателем темпов прироста уровней ряда динамики. Выражаемый в процентах средний темп роста показывает, на сколько процентов увеличивался (или уменьшался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Вычисляется средний темп прироста как разность между средним темпом роста ( ) и 100%, если выражен в процентах; когда выражен в коэффициентах, то ∆T= -1.

Вычислим средний темп роста и прироста производства бумаги по данным табл. 8.3.1:

 или 100,6%

или

среднегодовой темп прироста составляет:

Корень n-й степени находят по логарифмическим или специальным таблицам. В частности можно использовать книгу А. М. Айрапетова «Таблицы исчисления темпов роста, прироста и снижения»

5.

В статистической практике наиболее распространенными способами обработки динамических рядов являются: укрупнение интервалов, сглаживание способом скользящей средней, аналитическое выравнивание (методом наименьших квадратов).

Самым простым приемом является укрупнение интервалов времени, к которым относятся уровни динамического ряда (суточные в декадные или месячные, месячные — в квартальные или годовые, квартальные — в годовые и т. д.), и исчисление по ним средних уровней. Рассмотрим этот метод на примере данных о реализации фотоаппаратов в магазинах города (табл. 8.5.1).

 

Таблица  8.5.1. Реализация фотоаппаратов в городе по месяцам

Месяц	Реализовано штук	Месяц	Реализовано штук
Январь	4765	Июль	4894
Февраль	4181	Август	4790
Март	4062	Сентябрь	4851
Апрель	4891	Октябрь	5008
Май	4544	Ноябрь	4937
Июнь	4305	Декабрь	4893

Объединим месячные показатели реализации в квартальные и рассчитаем за каждый квартал средние месячные уровни реализации. В результате получим новый динамический ряд, в котором четко прослеживается тенденция роста реализации фотоаппаратов (табл. 8.5.2).

Таблица  8.5.2.   Реализация фотоаппаратов в городе по кварталам

	Кварталы
	I	II	III	IV
Реализовано, шт.	13008	13740	14535	14838
Среднемясечная релизация, шт.	4336	4580	4845	4946

Другим приемом выявления общей тенденции является сглаживание с помощью скользящей (подвижной) средней. Этот метод состоит в том, что каждый уровень из уровней ряда динамики заменяется средней данного уровня и соседних с ним. Посчитаем но данным табл. 8.5.1 средний уровень реализации за первые три месяца:

затем за 3 месяца, но начиная не с января, а с февраля:

Полученными скользящими средними заменяют уровень, стоящий в середине "периода скольжения": первой средней — февральский уровень, второй — мартовский и т. д. (табл. 8.5.3.)

 

Таблица 8.5.3. Расчет скользящей средней

Месяцы	Реализовано фотоаппаратов,шт.	Трехмесячная сумма уровней для скользящего периода, шт.	Трехмесячная скользящая средняя, шт.
Январь	4765
Февраль	4181	13008	4336
Март	4062	13134	4378
Апрель	4891	13497	4499
Май	4544	13740	4580
Июнь	4305	13743	4581
Июль	4894	13989	4663
Август	4790	14535	4845
Сентябрь	4851	14649	4883
Октябрь	5008	14796	4932
Ноябрь	4937	14838	4946
Декабрь	4893

Более совершенным способом выявления основной тенденции динамики является аналитическое выравнивание (определение тренда). Этот способ состоит в нахождении такой прямой или кривой, ординаты точек которой были бы максимально близки к уровням исследуемого динамического ряда. Тренд прямой или кривой выбирается после всестороннего анализа закономерностей и характера развития явлений и показателей, представленных в динамическом ряду.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в динамических рядах является то, что закономерно изменяющийся уровень изучаемого общественного явления

( t) рассчитывается как функция времени (тренд):

Параметры аналитического уравнения выбранной линии находят, используя способ наименьших квадратов. В этом случае предполагается, что сумма квадратов отклонений фактических уровней (y) от выравненных ( t), т. е. расположенных на искомой линии, должна быть минимальной:

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой:

где t — условное обозначение времени; a0 и a1, — параметры искомой прямой.

Выравнивание по уравнению тренда прямой применяется в тех случаях, когда характер движения изучаемого явления ближе всего к прямолинейному. Для этого типа динамики характерны постоянные цепные абсолютные приросты:

Параметры a0 и а1, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

где у — фактические уровни ряда динамики; п — число уровней ряда; t — нумерация фактора времени.

Эта система уравнений значительно упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю. Тогда получается следующая система уравнений:

решая которую, получаем:

Если уровней в ряду динамики четное число, то условные обозначения времени t принимаются следующие:

Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
t	-7	-5	-3	-1	+1	+3	+5	+7