Планирование и организация эксперимента

 

     Формулы для расчетов:

,     ,                  (12), (13)

     где l - число параллельных опытов в i-той строке матрицы: k - номер параллельного опыта.

      3. Будем использовать полную линейную модель регрессии со взаимодействием (14). В том случае, если наша модель окажется проще, незначимые коэффициенты обратятся в 0, и мы их отбросим, так как будем проводить эксперимент на обезразмеренных величинах.

   (14)                      

      где   θ_i – параметры модели;

      X_i – факторы (независимые переменные);

      Y_i – отклик.

      4. Для упрощения обработки результатов  эксперимента, производим кодирование значений факторов по выражению (15):

,        (15)

      где - натуральное значение  i-го фактора,

        - натуральное значение основного уровня (центра плана по фактору ),

       - интервал варьирования фактора,

       - кодированный безразмерный  фактор, который принимает значения  .

      То  есть кодированные значения факторов равны: X^*₁=1- max, X^*₁= -1 – min; X^*₂= 1 – max,  X^*₂= -1- min; X^*₃= 1 - max, X^*₃= -1 - min.

      Таким образом, значения факторов:

      Х_1min=0 °С, Х_1max=40 °С

      Х_2min=0,5 атм._, Х_2max=1,5 атм.

      Х_3min=0,1, Х_3max=1,0

              

      В результате такого кодирования получаем расширенную матрицу планирования полного факторного эксперимента в безразмерных величинах  . Далее мы будем иметь дело с кодированными переменными, поэтому звездочку будем опускать. 

      Строим  расширенную матрицу планирования:

 

      5. Построенная матрица планирования является ортогональной, так как выполняются следующие соотношения (16):

                            (16)

      6. Определим коэффициенты уравнения регрессии по выражению (17):

   .                          (17)   

     Согласно  расширенной матрице плана, получим  формулы для определения оценки для коэффициентов регрессии:

     ϴ₀ = · (у₁+у₂+у₃+у₄+у₅+у₆+у₇+у₈),

     ϴ₁ = · (у₁-у₂+у₃-у₄+у₅-у₆+у₇-у₈),

     ϴ₂ = · (у₁+у₂-у₃-у₄+у₅+у₆-у₇-у₈),

     ϴ₃ = · (у₁+у₂+у₃+у₄-у₅-у₆-у₇-у₈),

     ϴ₄ = · (у₁-у₂-у₃+у₄+у₅-у₆-у₇+у₈),

     ϴ₅ = · (у₁-у₂+у₃-у₄-у₅+у₆-у₇+у₈),

     ϴ₆ = · (у₁+у₂-у₃-у₄-у₅-у₆+у₇+у₈),

     ϴ₇ = · (у₁-у₂-у₃+у₄-у₅+у₆+у₇-у₈).

     7. Произведем контроль воспроизводимости результатов исследования, т.е. проверим равноточность измерений. Такая проверка необходима при малом числе опытов, т.к. в этом случае даже одна грубая ошибка может сильно исказить результаты. Проверка воспроизводимости производится с помощью критерия Кохрена, согласно которому, если имеются дисперсии по строкам и имеется их сумма , то для проверки равноточности необходимо выбрать самую большую из построчных дисперсий и определить G – критерий

, G = = 0,330827.

     Сформулируем  и проверим гипотезу об однородности дисперсий.

     Н₀: G < G_крит, дисперсии однородные,

     Н₁: G > G_крит, дисперсии неоднородные.

     По  таблице значений критерия Кохрена для уровня значимости 0,05 найдем G_кр для числа степеней свободы и числа выборки , G_кр = 0,391.

     Так как G=0,330827 < G_крит=0,391, можно сделать вывод, что опыты равноточные и дисперсии однородные, гипотеза Н₀ принимается.

     8. Определим оценки коэффициентов регрессии по формулам, полученным в п.6:

     ϴ₀ = · (240,9362+11,07012+140,9332+11,8837+233,7502+2,43064+ +128,4274 +1,58147) = 96,3766,

     ϴ₁ = · (240,9362-11,07012+140,9332-11,8837+233,7502-2,43064+ +128,4274-1,58147) = 89,635,

     ϴ₂ = · (240,9362+11,07012-140,9332-11,8837+233,7502+2,43064-            -128,4274-1,58147) = 25,6702,

     ϴ₃ = · (240,9362+11,07012+140,9332+11,8837-233,7502-2,43064-           -128,4274-1,58147) = 4,82919,

     ϴ₄ = · (240,9362-11,07012-140,9332+11,8837+233,7502-2,43064-            -128,4274+1,58147) = 25,6613,

     ϴ₅ = · (240,9362-11,07012+140,9332-11,8837-233,7502+2,43064-            -128,4274+1,58147) = 0,09376,

     ϴ₆ = · (240,9362+11,07012-140,9332-11,8837-233,7502-2,43064+ +128,4274+1,58147) = -0,872819,

     ϴ₇ = · (240,9362-11,07012-140,9332+11,8837-233,7502+2,43064+ +128,4274-1,58147) = -0,45713.

     9. Произведем оценку дисперсии воспроизводимости по формуле (18):                                                    (18)

= 4,1614245.

     Определим дисперсию воспроизводимости для среднего значения отклика по формуле :  S² ( ) = 0,8322849.

     Определим среднеквадратичное отклонение

по формуле S ( ) = 0,912296.

     10. Произведем оценку значимости коэффициентов.

     Сформулируем  гипотезу:

     Н₀ : ϴ_i = 0 - коэффициент ϴ_i незначим;

     Н₁ : ϴ_i ≠ 0 - коэффициент ϴ_i значим.

     Для проверки используется критерий Стьюдента t при уровне значимости 1-α/2 (α выбирается равным 0,05) и числе степеней свободы ν =  = n(l-1) = 8·(5-1) = 32.

     Для ортогонального планирования, оценки дисперсии коэффициентов уравнения  регрессии равны между собой  и определяются по формуле (19):

,    = 0,104036                                (19)

     Коэффициент уравнения статистически значим, если , где значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы ν:

 при α = 0,975 и ν = 32.

, 96,3766 > 0,656993, коэффициент уравнения статически значим, принимаем гипотезу Н₁.

, 89,635 > 0,656993, коэффициент уравнения статически значим, принимаем гипотезу Н₁.

, 25,6702 > 0,656993, коэффициент уравнения статически значим, принимаем гипотезу Н₁.

, 4,82919 > 0,656993, коэффициент уравнения статически значим, принимаем гипотезу Н₁.

, 25,6613 > 0,656993, коэффициент уравнения статически значим, принимаем гипотезу Н₁.

, 0,09376 < 0,656993, коэффициент уравнения статически незначим, принимаем гипотезу Н₀.

, 0,872819 > 0,656993, коэффициент уравнения статически значим, принимаем гипотезу Н₁.

, 0,45713 < 0,656993, коэффициент уравнения статически незначим, принимаем гипотезу Н₀.

     Коэффициенты, признанные незначимыми (Θ₅ и Θ₇), приравняем к 0. Так как при ортогональном планировании коэффициенты уравнения регрессии оцениваются независимо друг от друга, то мы можем не производить пересчет коэффициентов и не проверять их значимость заново, а просто откинуть незначимые коэффициенты.

     Статистическая незначимость некоторых коэффициентов может быть вызвана следующими причинами:

     1. Большая ошибка эксперимента  из-за наличия неуправляемых и  неконтролируемых переменных.

     2. Данный фактор или взаимодействие  факторов действительно не оказывают существенного влияния на значение параметра отклика у.

     Отбросив (приравняв к нулю) незначимые коэффициенты, получим уравнение связи между  откликом у и факторами х_i:

     y = f(x₁, x₂, x₃) = ϴ₀ + ϴ₁·x₁ + ϴ₂·x₂ + ϴ₃·x₃ + ϴ₄·x₁·x₂ + ϴ₆·x₂·x₃ + ε.

     11. Оценим адекватность математической модели.

     Для проверки адекватности полученной математической модели производится оценка дисперсии адекватности:

,

     где d = 6 - число значимых коэффициентов в уравнении; n = 8 - число опытов.

     Найдем  , используя выбранную математическую модель и полученные коэффициенты регрессии.

      = ϴ₀ + ϴ₁ + ϴ₂ + ϴ₃ + ϴ₄ + ϴ₆ = 241,29947_.

      = ϴ₀ - ϴ₁ + ϴ₂ + ϴ₃ - ϴ₄ + ϴ₆ = 10,70687_.

      = ϴ₀ + ϴ₁ - ϴ₂ + ϴ₃ - ϴ₄ - ϴ₆ = 140,3821_.

      = ϴ₀ - ϴ₁ - ϴ₂ + ϴ₃ + ϴ₄ - ϴ₆ = 12,4347_.

      = ϴ₀ + ϴ₁ + ϴ₂ - ϴ₃ + ϴ₄ - ϴ₆ = 233,3867_.

      = ϴ₀ - ϴ₁ + ϴ₂ - ϴ₃ - ϴ₄ - ϴ₆ = 2,79413_.

      = ϴ₀ + ϴ₁ - ϴ₂ - ϴ₃ - ϴ₄ + ϴ₆ = 128,9781_.

      = ϴ₀ - ϴ₁ - ϴ₂ - ϴ₃ + ϴ₄ + ϴ₆ = 1,03069_.

     Тогда S²_ад = 0,871040685.

     Сформулируем  гипотезу об адекватности модели:

     Н₀: F_крит> F – модель адекватна,

     Н₁: F_крит< F – модель не адекватна.

     Для проверки гипотезы об адекватности воспользуемся  критерием Фишера для выбранного уровня значимости α=0,05 и числа степеней  свободы числителя при d = 6 и n =  8, ,  для знаменателя при . Найдем критическое значение критерия Фишера по таблице:

     F_крит(0,05; 2; 32) = 3,295.

     Вычислим  расчетное значение критерия Фишера по формуле:

     

= = 1,04657.

     Сравнив рассчитанное и критическое значения критерия Фишера, получим F_крит > F, следовательно, данная модель является адекватной, принимаем гипотезу Н₀.

     12. Запишем модель в размерном виде для всех значимых коэффициентов. Для того чтобы перевести модель в размерный вид необходимо перейти от безразмерных величин к размерным величинам для этого формулу подставляем в уравнение , занулив при этом незначимые коэффициенты. В результате получаем:

y=.

              

     Рассчитаем  новые коэффициенты:

     Θ_0Р= -1,3119 ≈ -1,31;

     Θ_1Р= 1,9156 ≈ 1,92;

     Θ_2Р= 2,1512 ≈ 2,15;