Основы общей теории статистики

При статистическом анализе криволинейной связи  часто применяется полулогарифмическая функция:

Параметры уравнения определяются из системы нормальных уравнений, отвечающих требованию метода наименьших квадратов:

С использованием метода определителей составляются алгоритмы расчета параметров уравнения:

При статистическом анализе нелинейной корреляционной связи возможно применение уравнения регрессии показательной функции:

Для решения  этого уравнения производится логарифмирование:

lg

C учетом требований метода наименьших квадратов , составляется система нормальных уравнений:

С использованием метода определителей составляются алгоритмы расчета параметров уравнения

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.6.Основные понятия множественной корреляции

 

             Проведенный выше анализ статистических  совокупностей позволяет изучить  взаимосвязь только двух переменных.На  практике часто приходится исследовать  зависимость результативного признака  от нескольких факторных признаков. В этом случае статистическая модель может быть представлена уравнением регрессии с несколькими переменными величинами. Такая регрессия называется множественной.

Например, линейная регрессия с m независимыми переменными имеет вид:

При оценке параметров этого уравнения в каждом i-том  наблюдении фиксирует значение результативного признака у и факторных признаков .Слагаемое является случайным возмущением, имеющим математическое ожидание, равное 0, и дисперсию ; - фиктивная переменная, равная 1.

Оценки параметров уравнения регрессии находятся  с помощью метода наименьших квадратов, который в случае множественной регрессии удобнее представить в матричной форме.

Применяются следующие  обозначения:

а = (аj), j = 0,1,...,m - вектор оценок параметров, m - число  неизвестных параметров;

у = (уi), i = 1,2,...,n - вектор значений зависимой переменной, n - число наблюдений;

х = (хij) - матрица  значений независимых переменных размерностью n(m+1);

е = (ei) - вектор ошибок в уравнении с оцененными параметрами.

Уравнение регрессии  с оцененными параметрами имеет  вид:

у = Ха ,

Линейная модель в векторном виде имеет вид:

у = Ха + е.

Сумма квадратов  отклонений равна:

Q = = e = (y-Xa) (y-Xa) = y y -2 a X y - y Xa + a Xa =

= y y - 2a X y + a X Xa,

где Т - знак операции транспонирования, т.е. строки исходной матрицы в транспонированной занимают положение столбцов.

Дифференцированием Q по а, получается :

= -2Х у + 2(Х Х)а

Приравниванием  производной к нулю получается выражение  для определения вектора оценки а:

Х у = Х Ха,

а = (Х Х)-1(Х у)

Оценку а, определенную изложенным способом, называют оценкой  метода наименьших квадратов. Применительно к уравнению регрессии матрицы коэффициентов имеют вид:

,  и следовательно,

,

.

Суммирование  производится по числу наблюдений n.  

Анализ коэффициентов  регрессии :

В общем случае, чтобы сделать коэффициенты регрессии  сопоставимыми, применяют нормированные коэффициенты регрессии.

Коэффициент показывает величину изменения результативного  признака в значениях средней  квадратичной ошибки при изменении  факторного признака хj на одну среднеквадратическую ошибку:

где аj - коэффициент  регрессии при факторе хj;

j - 1,2,...,m; m - число  факторных признаков; 

- среднеквадратическое  отклонение факторного признака  хj;

- среднеквадратическое  отклонение результативного признака.

Для множественной  регрессии также определяются частные коэффициенты эластичности Эj относительно хj:

 где   частная производная от регрессии по переменной хj;

хj - значение фактора  хj на заданном уровне;

у - расчетное  значение результативного признака при заданных уровнях факторных признаков.

Коэффициент Эj показывает, на сколько процентов  изменится результативный признак  при изменении факторного признака на 1 процент при фиксировании значений остальных факторов на каком-либо уровне. Если в качестве такого уровня принять их средние значения, то получаем средний коэффициент эластичности

Совокупный коэффициент  множественной корреляции характеризует тесноту связи

результативного у и факторных признаков и в общем случае определяется по формуле:

,

где - факторная дисперсия,

- остаточная дисперсия,

- дисперсия результативного  признака:

 
 

где -расчетное значение результативного признака; -среднее значение результативного признака.

Принятая здесь  форма записи индексов трактуется следующим  образом:

-дисперсия  , полученная с учетом факторов ;

-дисперсия  , полученная при элиминации влияния

Чем плотнее  фактические значения располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия(больше факторная дисперсия) и , следовательно, больше величина .

     Таким  образом, коэффициент множественной  корреляции, как и величина остаточной дисперсии, характеризует качество подбора уравнения регрессии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 Расчетная часть

                       2.1.Проведение группировки

 Провести группировку предприятий по рентабельности, образовав 4 группы равными интервалами 

1-ая группа: (2,48 – 2,7)

Таблица 4 

     2-ая группа: (2,7 – 2,91)

      3-я группа: (2,91 – 3,12)

4-ая группа: (3.12 – 3.33)

Группы охарактеризовать среднем уровенем рентабельности и производительности труда

Производительность  – признак фактор (х)

Рентабельность  – признак результат (f) 
 
 
 

Таблица 5

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2.Определение  внутренней дисперсии по каждой группе и среднюю                        внутригрупповую дисперсию

 

Расчёт внутригрупповой  дисперсии 1-ой группы

Таблица 6