Основные показатели деятельности автотранспортных предприятий

     5. Если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, следующих нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону.

     6. Площадь между кривой и осью  Ot равна единице.

     В условиях нормального распределения  существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений: в промежутке между при t=+1 и t= -1 заключается 68,26 % всех значений признаков; между при t=+2 и t= -2 располагается 95,44 % всех значений признаков; между при t=+3 и t= -3 находится 99,73 % значений признаков. На рис. 6.5 показано нормальное распределение с одно-, двух-, трехсигмовыми пределами.

     На  практике почти не встречаются отклонения, которые превышают . Отклонение может считаться максимально возможным. Это положение называют “правилом трех сигм”.

     В математической статистике нормальное распределение играет роль некоторого стандарта, с которым сравнивают другие распределения.

     При построении кривой по эмпирическим данным используют следующую формулу: 

      , 

     где h – величина интервала;

       – сумма всех частот, равная объему совокупности;

     s – среднее квадратическое отклонение.

     Пример. Построить нормальную кривую по данным о распределении 200 деталей по весу (см. табл. 1).

     Решение. Находим среднюю по способу моментов по формуле (10), избираем центр отсчета А = 328,5 и h = 5: 

      .

     Находим среднее квадратическое отклонение по формуле (10): 

       

     Находим t в каждой строке по формуле  , а затем F(t). Для вычисления теоретических частот (т. е. ординат нормальной кривой) находим множитель и все найденные величины F(t) умножаем на 102,14. Так, для первой теоретической частоты получаем: 102,14×0,1295»13 и т. д. Учитывая, что полученные теоретические частоты могут быть только целыми числами, округляем их и находим сумму, равную 192. Таким образом, видим несовпадение суммы теоретических частот (192) с суммой фактических частот (200). Такое расхождение бывает в тех случаях, когда крайние теоретические частоты значительно отличаются от нуля. В этих случаях теоретическую кривую надо продлевать. В нашем примере нормальная кривая должна быть продолжена в сторону отрицательных отклонений от средней, так как первая неуточненная частота, как мы видели, равна 13.

     Производим  такой расчет теоретических частот для двух предшествующих интервалов, в которых фактические частоты равны нулю, и получаем для интервалов 296–301 и 301–306 теоретические частоты 2 и 6. Для наглядности строим график, на который наносим фактическое распределение в виде гистограммы и нормальную кривую (рис. 6). 

     

     Рис. 6. Фактическое распределение и  нормальная кривая

     На  графике видна близость фактических  частот распределения к теоретическим. Однако, такое сопоставление соответствия эмпирического распределения нормальному позволяет оценивать эти расхождения только субъективно. Объективная характеристика соответствия может быть получена с помощью приемов.

     К элементарным приемам определения  «нормальности» распределения относятся:

     1. Сравнение по абсолютной величине  отношений: если  или , то «нормальность» распределения подвергается сомнению.

     2. Сравнение средней арифметической  с модой и медианой. Для нормального распределения

     3. Использование теоретического соотношения  для центральных моментов нормального  распределения

     

     4. Вычисление специальных критериев согласия.

     Объективная характеристика соответствия эмпирического  распределения нормальному может  быть получена с помощью особых статистических показателей – критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона ( ), В. И. Романовского , А. Н. Колмогорова и Б. С. Ястремского .

     Критерий  согласия Пирсона ( ) вычисляется по формуле 

          

     где эмпирические и теоретические частоты соответственно.

     С помощью величины по специальным таблицам определяется вероятность . Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы k = n – 1. На основе вероятности выносится суждение о существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 считается, что теоретическое и эмпирическое распределения близки, при Р [0,2; 0,5] совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях – недостаточное.

     Критерий  Романовского (C), также используемый для проверки близости эмпирического и теоретического распределений, определяется следующим образом:

      ,   

     где  – критерий Пирсона;

     k – число степеней свободы, которое равно числу групп минус три.

     При С<3 различие несущественно, что позволяет  считать эмпирическое распределение близким к нормальному.

     Критерий  Ястремского (L) может быть найден на основе следующего соотношения: 

          

     где N – объем совокупности;

     pq – дисперсия альтернативного признака;

     к – число вариантов или групп;

     Q – принимает значение 0,6 при числе вариантов или групп от 8 до 20.

     Если  L > 3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

     Критерий  Колмогорова (l) вычисляется по формуле

      ,      

     где Д – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими  и теоретическими частотами;

           – сумма эмпирических частот.

     Необходимым условием использования этого критерия является достаточно большое число  наблюдений (не меньше 100).

 

  1.4 СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 
 

     Большое распространение в статистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

     Средние величины – это обобщающие показатели, в которых находят выражения  действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

     Существуют  две категории средних величин:

     1. Степенные средние к ним относятся:

     средняя арифметическая

     средняя гармоническая

     средняя геометрическая

     2. Структурные средние

     мода

     медиана

     Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

     Для определения моды и медианы рассмотрим например, в нашем примере группы банков, где известно количество банков и капитал отдельных групп  банков:

 

      Таблица (данные по активам банка)

 

     Мы  будим следовать от того, что расчет средней арифметической нецелесообразен. Однако мы можем определить то значение признака, которое будет делить единицы измерения ранжированного ряда на две части. Такое значение называют медианной. Медианна – это вариант расположения в середине упорядоченного ряда распределения делящий его на две равные части таким образом, что половина единиц совокупности имеет значение меньше чем медиана, а половина больше чем медиана, то есть медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

     Расчет  медианы по несгруппированным данным производится следующим образом:

     1. Расположим индивидуальные значения  признака в возрастающим порядке: 

      2. определяем  порядковый номер медианы по  формуле:  

     Где n – это число членов ряда

      В нашем случае число членов ряда состоит из 5 пунктов тогда:  

     Это означает, что медиана в нашем  случае медиана расположена в  третьем ряду со значениями признака Ме равной средней арифметической из значений: от 30 до 35.

      3. Теперь определяем  точное значение медианы в  медианном ряду используя следующую формулу:  

     Где XMe – минимальное значение медианного интервала

     iMe – размер медианного интервала

     fMe – частота медианного интервала

     ½Σf – полусумма всех частот ряда

       

     SMe – 1 – Сумма накопленных частот  до частот медианного интервала

     Медианным интервалом – называют интервал, в котором находится порядковый номер медианы.

      Подставляем известные нам значения:

     Это означает что медиана находится  в интервале от 30 до 35 под № 3 и  имеет значение 34,7 млн. рублей.

     4. Отобразим это графически. Для  нахождение медианы графически нам необходимо построить кумуляту на получившимся графике из последней получившейся точки (в нашем примере) проведем линию перпендикулярную к оси Х (капитала) она так же является максимальной высотой то есть максимально возможным количеством банков поделив ее пополам получаем середину и через полученную точку строим параллельную оси Х линию которая должна пересекать высоту к оси Х и кумуляту. От места пересечения кумуляты опускаем еще один перпендикуляр. Как мы видим получившиеся точка на оси Х соответствует значению 34,7 млн. руб. что и требовалось.

     Мода - это наиболее часто встречающееся  значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует  определенному значению признака.