Ошибки выборочного отбора

1.3.  Ошибки  выборочного отбора 

     Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки. Ошибки выборки подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

     Ошибки регистрации возникают из-за неправильных или неточных сведений. Источниками таких ошибок могут быть непонимание существа вопроса, невнимательность регистратора, пропуск или повторный счет некоторых единиц совокупности, описки при заполнении формуляров и т.д.

      Среди ошибок регистрации выделяются систематические, обусловленные причинами, действующими  в каком-то одном направлении и искажающими результаты работы (например, округление цифр, тяготение к полным пятеркам, десяткам и т.д.), и случайные, проявляющиеся в различных направлениях, уравновешивающие друг друга и лишь изредка дающие заметный суммарный итог. 

        Расхождение между значениями изучаемого признака выборочной и генеральных совокупностей является ошибкой  репрезентативности (представи-тельности). Она может быть случайной и систематической. Случайная возникает в силу того, что выборочное статистическое наблюдение является несплошным наблюдением, и выборка недостаточно точно воспроизводит (репрезентирует) генеральную совокупность.  

        Систематические ошибка репрезентативности возникают из-за неправильного, тенденциозного отбора единиц, при котором нарушается основной принцип научно организованной выборки - принцип случайности.

 

      При определении величины репрезентативной  ошибки предполагается, что ошибка  регистрации равна нулю. Определение ошибки производится по формулам ошибки выборочной доли и ошибки выборочной средней. Систематическая ошибка репрезентативности возникает вследствие нарушения правил отбора единиц генеральной совокупности, в частности принципа беспристрастного, непреднамеренного отбора. Систематическая ошибка может привести к полной непригодности результатов наблюдений.

        Рассмотрим на примере, насколько  отличаются выборочные и генеральные  показатели по данным об успеваемости  студентов (две 10%-е выборки): 

 

        Средний балл для генеральной  совокупности

по первой выборке

по второй выборке

         Доля студентов, получивших оценки "4" и "5":

по генеральной  совокупности

по первой выборке

по второй выборке

        Разность между показателями  выборочной и генеральной совокупности  является случайной ошибкой репрезентативности (ошибкой выборки).

        Ошибки репрезентативности:

        Как видно из расчетов, выборочная  средняя и выборочная доля  являются случайными величинами, которые могут принимать различные  значения в зависимости от  того, какие единицы совокупности  попали в выборку. 
 

1.3.1.  Ошибка  выборочной  средней 

     Ошибка выборочной средней  представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней и генеральной средней , возникающее вследствие несплошного выборочного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения  от  , гарантируемый с заданной вероятностью: 

где      –   гарантийный коэффициент, зависящий от вероятности      , с которой гарантируется невыход разности   за пределы ;  – средняя ошибка выборочной средней.

       Значения гарантийного коэффициента  и соответствующие им вероятности приведены в табл.4.1. Обычно вероятность принимается равной 0,9545 или 0,9973, а   при этом равно соответственно 2 и 3.

Таблица 4.1

Значения  гарантийного коэффициента 

 

 

      Н.В.Смирнов, И.В.Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1965. 512 с.

     Стр.173

     Средняя  ошибка определяется как среднее  квадратическое отклонение средней  величины в генеральной совокупности (средней генеральной)

        В математической статистике  доказывается, что величина средней  квадратической стандартной ошибки  простой случайной повторной  выборки может быть определена  по формуле

где   - дисперсия признака в генеральной совокупности. 
 
 

      Дисперсия суммы независимых  величин равна сумме дисперсий  слагаемых

      Если все величины X_i имеют одинаковую дисперсию, то

      Тогда дисперсия средней

       Тогда средняя ошибка при определении  средней

        Между дисперсиями в генеральной  и выборочной совокупностях существует  следующее соотношение:

где  – дисперсия признака в выборке.

        Если  n  достаточно велико, то  близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

       Тогда средняя ошибка средней  в генеральной совокупности может быть как среднее квадратическое отклонение средней величины в выборочной совокупности (средней выборочной) 

      Средняя ошибка выборочной средней

     Значения  средней ошибки выборки определяются  по формуле 

где   – дисперсия в генеральной совокупности.

        Между дисперсиями в генеральной  и выборочной совокупностях существует следующее соотношение: 

где  – дисперсия в выборке.

        Если  n  достаточно велико, то  близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке. 

     При повторном отборе средняя  ошибка определяется следующим  образом: 

где  – средняя величина дисперсии количественного признака  , которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной 

 

или средней  арифметической взвешенной

где    f_i    – статистический вес. 

        Формулы расчета средней ошибки  выборочной средней для различных,  наиболее часто используемых  способов отбора выборочной совокупности  приведены в табл.4.2. 
 
 
 

Таблица 4.2 

Формулы расчета средних ошибок выборочной доли

 и  выборочной средней 

 

где            N     – численность генеральной совокупности;

                   – межсерийная дисперсия выборочной доли;

            r      – число отобранных серий;

                 R     – число серий в генеральной совокупности;

                 – средняя из групповых дисперсий выборочной доли;

                  – дисперсия признака  x  в выборке;

                   – межсерийная дисперсия выборочных средних;

                  – средняя из групповых дисперсий выборочной средней. 

        При  бесповторном оборе с  каждой отобранной единицей или  серией вероятность отбора оставшихся единиц или серий повышается, при этом средняя ошибка выборочной средней уменьшается по сравнению с повторным отбором и имеет следующий вид:

для механического  или собственно случайного бесповторного  отбора 

 

        При достаточно большом объеме совокупности  N     можно воспользоваться формулой

 

для серийного  бесповторного отбора равновеликих  серий 

 

        При достаточно большом  числе  серий в генеральной совокупности   R   можно воспользоваться формулой 

для типического  отбора с бесповторным случайном  отборе внутри групп, пропорциональном объему групп 

. 

     Межсерийная дисперсия выборочных средних  и средняя из выборочных дисперсий типических групп вычисляются следующим образом:

 

 

где  – среднее значение показателя    в j – й серии;