Контрольная работа по "Математической статистике"

 

Необходимо: а) оценить тесноту  и направление связи между  переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнения прямых регрессии.

 

Решение:

Для расчета параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x • y
9.9	10.7	98.01	114.49	105.93
17.2	10.8	295.84	116.64	185.76
11	17.1	121	292.41	188.1
11.7	12.5	136.89	156.25	146.25
17.8	12.7	316.84	161.29	226.06
12.7	12.8	161.29	163.84	162.56
12.8	12.7	163.84	161.29	162.56
13.7	11.8	187.69	139.24	161.66
14.3	17.8	204.49	316.84	254.54
17.4	10.6	302.76	112.36	184.44
138.5	129.5	1988.65	1734.65	1777.86

 

1. Параметры уравнения  регрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

1.1. Коэффициент  корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут  быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале  Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  слабая и обратная.

Кроме того, коэффициент  линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент  регрессии b:

 

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = -0.22 x  + 16.04

Коэффициентам уравнения  линейной регрессии можно придать  экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -0.22 показывает среднее изменение результативного  показателя (в единицах измерения  у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением  на 1 единицу y понижается в среднем  на -0.22.

Коэффициент a = 16.04 формально  показывает прогнозируемый уровень  у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными  значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к  неверным результатам, и даже если линия  регрессии довольно точно описывает  значения наблюдаемой выборки, нет  гарантий, что также будет при  экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение  регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

Для наших данных система  уравнений имеет вид

10a + 138.5 b = 129.5

138.5 a + 1988.65 b  = 1777.86

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.2231, a = 16.0406

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -0.2231 x + 16.0406

Построим график: