Контрольная работа по "Математической статистике"

Задача 1.4

Для оценки уровня жизни  жителей города проведен 1%-й опрос, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки. Получено следующее распределение  жителей по месячному доходу Х (количество минимальных заработных плат):

 

Количество минимальных заработных плат хi	Менее  2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	Более 12
Число жителей ni	155	657	870	390	83	75	5

 

1. а) Определить границы,  в которых с надежностью 0,9335 заключен средний месячный доход  жителей города

   б) каким должен  быть объем выборки, чтобы те  же границы гарантировать с  надежностью 0,9855 ?

2. Определить границы,  в которых с надежностью 0,9783 заключена доля наиболее обеспеченного  населения города (12 и более минимальных  заработных плат) и доля наименее  обеспеченного населения города (менее 2 минимальных заработных  плат).

3. Каким должен быть  объем выборки , чтобы те же границы для доли наименее обеспеченного населения города гарантировать с надежностью 0,9873 ?

4. Как изменились бы  результаты, полученные в п.3, если  бы о доле наиболее обеспеченного  населения региона вообще не  было ничего известно?

 

 

Решение:

Проведем следующие расчеты:

 

Группы	xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	(x - xср) * f	(x - xср)2 * f	Частота, fi/n
до 2	1.5	155	232.5	155	524.85	1777.21	0.0694
2 - 4	3	657	1971	812	1239.19	2337.27	0.29
4 - 6	5	870	4350	1682	99.07	11.28	0.39
6 - 8	7	390	2730	2072	824.41	1742.69	0.17
8 - 10	9	83	747	2155	341.45	1404.69	0.0371
10 - 12	11	75	825	2230	458.54	2803.46	0.0336
Более 12	13	5	65	2235	40.57	329.17	0.00224
		2235	10920.5		3528.07	10405.77	1

 

Для оценки ряда распределения  найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

 

 

Вычислим выборочную дисперсию:

 

xц	x*i	x*ifi	[x*i]2fi
1.5	-1.75	-271.25	474.69
3	-1	-657	657
5	0	0	0
7	1	390	390
9	2	166	332
11	3	225	675
13	4	20	80
		-127.25	2608.69

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

 

 

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 1.58

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 4.89 не более, чем на 2.16

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

Определить границы, в  которых с надежностью 0,9335 заключен средний месячный доход жителей  города

 

или

 

где d  - процент выборки.

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.9335/2 = 0.4668

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.4668

t_kp(γ) = (0.4668) = 1.84

 

(4.89 - 0.0836;4.89 + 0.0836) = (4.8;4.97)

С вероятностью 0.9335 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

 

или

 

где d  - процент выборки.

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента  находим:

T_табл (n-1;α/2) = (7;0) = 6

 

(1 - 0;1 + 0) = (1;1)

С вероятностью 0 можно утверждать, что среднее значение при выборке  большего объема не выйдет за пределы  найденного интервала.

Найдем доверительный  интервал для среднеквадратического  отклонения с надежностью γ = 0.9783.

Нижняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

Верхняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

(2.16 - 6.57; 2.16 + 6.57)

(-4.41; 8.73)

Найдем верхнюю границу  доверительного интервала для среднеквадратического  отклонения:

 

0 ≤ σ ≤ 6.57

Доверительный интервал для  генеральной доли.

 

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.9335/2 = 0.4668

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.4668

t_kp(γ) = (0.4668) = 1.84

 

Доля i-ой группы fi / ∑f	Средняя ошибка выборки для  генеральной доли, ε	Нижняя граница доли, p* + ε	Верхняя граница доли, p* + ε
0.0694		0.064	0.0747
0.29		0.28	0.3
0.39		0.38	0.4
0.17		0.17	0.18
0.0371		0.0332	0.0411
0.0336		0.0298	0.0373
0.00224		0.00125	0.00322

 

 

С вероятностью 0.9783 при большем  объеме выборке эти доли будут  находиться в заданных интервалах.

 

 

Задача 2.4

Для 12 предприятий региона  получены следующие данные о производительности труда Y, тыс. руб., в расчете на одного работающего в зависимости от энерговооруженности труда X, кВТ, (i – номер варианта = 8)

№ предприятия	Энерговооруженность Х, кВТ	Производительность труда  Y, тыс. руб
1	2,9	6,78
2	2,8	6,88
3	3	7,18
4	3,8	7,85
5	3,18	8,84
6	3,81	8,88
7	4,18	9,18
8	4,8	9,88
9	6,8	10,78
10	5,84	11,18
11	5,28	11,88
12	7,18	12,18

 

Необходимо: а) оценить тесноту  и направление связи между  переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнения прямых регрессии построить их графики.

Решение:

Для расчета параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x • y
2.9	6.78	8.41	45.97	19.66
2.8	6.88	7.84	47.33	19.26
3	7.18	9	51.55	21.54
3.8	7.85	14.44	61.62	29.83
3.18	8.84	10.11	78.15	28.11
3.81	8.88	14.52	78.85	33.83
4.18	9.18	17.47	84.27	38.37
4.8	9.88	23.04	97.61	47.42
6.8	10.78	46.24	116.21	73.3
5.84	11.18	34.11	124.99	65.29
5.28	11.88	27.88	141.13	62.73
7.18	12.18	51.55	148.35	87.45
53.57	111.49	264.61	1076.05	526.81

 

1. Параметры уравнения  регрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

1.1. Коэффициент  корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут  быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале  Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = 1.14 x  + 4.19

Коэффициентам уравнения  линейной регрессии можно придать  экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 1.14 показывает среднее изменение результативного  показателя (в единицах измерения  у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением  на 1 единицу y повышается в среднем  на 1.14.

Коэффициент a = 4.19 формально  показывает прогнозируемый уровень  у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными  значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к  неверным результатам, и даже если линия  регрессии довольно точно описывает  значения наблюдаемой выборки, нет  гарантий, что также будет при  экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение  регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система  уравнений имеет вид

12a + 53.57 b = 111.49

53.57 a + 264.61 b  = 526.81

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.1429, a = 4.1887

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1.1429 x + 4.1887

Построим график:

 

Задача 1.7

Для анализа активности инвесторов на фондовой бирже за квартал, по схеме  собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 450 инвесторов. Получено следующее распределение  инвесторов по числу сделок за квартал: