Контрольная работа по "Математической статистике"

хi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
ni	163	100	77	37	25	15	10	7	7	5	4

 

При условии, что общее  число инвесторов на фондовой бирже  неизвестно, а известно лишь, что  оно значительно превышает объем  выборки:

1. а) Найти вероятность  того, что доля малоперспективных  инвесторов на бирже (с числом  сделок менее 3) отличается от  доли таких же инвесторов в  выборке не более, чем на 0,02 (по абсолютной величине);

    б) Определить  границы, в которых с надежностью  0,9826 заключена доля малоперспективных  инвесторов на фондовой бирже.

2. Каким должен быть  объем выборки, чтобы те же  границы для доли малоперспективных  инвесторов на фондовой бирже  гарантировать с надежностью  0,9972 ?

3. Как изменились бы  результаты, полученные в пунктах  1а и 2, если  бы о доле малоперспективных  инвесторов вообще не было  ничего известно?

4. Определить границы, в которых с надежностью 0,9357 заключено число сделок на фондовой бирже за квартал.

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Таблица для расчета показателей.

 

xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	(x - xср) * f	(x - xср)2 * f	(x - xср)3 * f	Частота, fi/n
2	163	326	163	286.16	502.36	-881.92	0.36
3	100	300	263	75.56	57.09	-43.13	0.22
4	77	308	340	18.82	4.6	1.12	0.17
5	37	185	377	46.04	57.3	71.31	0.0822
6	25	150	402	56.11	125.94	282.66	0.0556
7	15	105	417	48.67	157.9	512.29	0.0333
8	10	80	427	42.44	180.15	764.65	0.0222
9	7	63	434	36.71	192.53	1009.71	0.0156
10	7	70	441	43.71	272.95	1704.43	0.0156
11	5	55	446	36.22	262.41	1901.01	0.0111
12	4	48	450	32.98	271.88	2241.53	0.00889
	450	1690		723.42	2085.11	7563.65	1

 

Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:

P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)

Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале X < 0,02

P(X < 0,02) = F(0,02) = 0

xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	(x - xср) * f	(x - xср)2 * f	(x - xср)3 * f	Частота, fi/n
2	163	326	163	286.16	502.36	-881.92	0.36
3	100	300	263	75.56	57.09	-43.13	0.22
4	77	308	340	18.82	4.6	1.12	0.17
5	37	185	377	46.04	57.3	71.31	0.0822
6	25	150	402	56.11	125.94	282.66	0.0556
7	15	105	417	48.67	157.9	512.29	0.0333
8	10	80	427	42.44	180.15	764.65	0.0222
9	7	63	434	36.71	192.53	1009.71	0.0156
10	7	70	441	43.71	272.95	1704.43	0.0156
11	5	55	446	36.22	262.41	1901.01	0.0111
12	4	48	450	32.98	271.88	2241.53	0.00889
	450	1690		723.42	2085.11	7563.65	1

 

 

Показатели вариации.

Для оценки ряда распределения  найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

 

 

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным  значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 12 - 2 = 10

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

 

 

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 1.61

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 3.76 не более, чем на 2.15

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям  вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное  линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

 

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Линейный коэффициент  вариации

 

Показатели формы  распределения.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

 

Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

 

Для симметричных распределений  рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Чаще всего эксцесс  оценивается с помощью показателя:

 

Для распределений более  островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M₄/s⁴ = 3.

M₃ = 55402.42/11 = 5036.58

 

Число 3 вычитается из отношения  μ⁴/ σ⁴ потому, что для нормального закона распределения μ⁴/ σ⁴ = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Ex = 0  - нормальное распределение

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/s_Ex

где s_Ex - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

 

Если отношение Ex/s_Ex > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

 

Поскольку s_Ex < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным.

Интервальное  оценивание центра генеральной совокупности.

Доверительный интервал для генерального среднего.

 

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.9826/2 = 0.4913

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.4913

t_kp(γ) = (0.4913) = 2.38

 

(3.76 - 0.24;3.76 + 0.24) = (3.52;4)

С вероятностью 0.9826 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ²_n-1 < h_H) = (1-γ)/2 = 0.0014. Для количества степеней свободы k = 449, по таблице распределения хи-квадрат находим:

χ²(449;0.0014) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

Вероятность выхода за верхнюю  границу равна P(χ²_n-1 ≥ h_B) = 1 - P(χ²_n-1 < h_H) = 1 - 0.0014 = 0.9986. Для количества степеней свободы k = 449, по таблице распределения хи-квадрат находим:

χ²(449;0.9986) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

(4.64 - 8.65; 4.64 + 8.65)

(-4.01; 13.29)

Найдем верхнюю границу  доверительного интервала для среднеквадратического  отклонения с надежностью γ = 0.9972.

 

P(χ²_n-1 > h_γ) = 0.9972. Для количества степеней свободы k = 449, по таблице распределения хи-квадрат находим:

χ²(449;0.9972) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

0 ≤ σ² ≤ 8.65

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

Найдем доверительный  интервал для среднеквадратического  отклонения с надежностью γ = 0.9972.

Нижняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

Верхняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

(2.15 - 2.94; 2.15 + 2.94)

(-0.79; 5.09)

Найдем верхнюю границу  доверительного интервала для среднеквадратического  отклонения:

 

0 ≤ σ ≤ 2.94

Интервальное  оценивание генеральной доли (вероятности  события).

Доверительный интервал для  генеральной доли.

 

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.9826/2 = 0.4913

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.4913

t_kp(γ) = (0.4913) = 2.38

 

Доля i-ой группы fi / ∑f	Средняя ошибка выборки для  генеральной доли, ε	Нижняя граница доли, p* + ε	Верхняя граница доли, p* + ε
0.36		0.34	0.38
0.22		0.2	0.24
0.17		0.15	0.19
0.0822		0.0693	0.0952
0.0556		0.0448	0.0663
0.0333		0.0249	0.0418
0.0222		0.0153	0.0292
0.0156		0.00972	0.0214
0.0156		0.00972	0.0214
0.0111		0.00619	0.016
0.00889		0.00447	0.0133

 

 

С вероятностью 0.9972 при большем  объеме выборке эти доли будут  находиться в заданных интервалах.

 

Задача  2.2

На 10 опытных участках  одинакового размера получены следующие  данные об урожайности Х, т, и содержании белка Y, %, для некоторой культуры (i – номер варианта = 7)

№ участка	Энерговооруженность Х, кВТ	Производительность труда  Y, тыс. руб
1	9,9	10,7
2	17,2	10,8
3	11	17,1
4	11,7	12,5
5	17,8	12,7
6	12,7	12,8
7	12,8	12,7
8	13,7	11,8
9	14,3	17,8
10	17,4	10,6