Балансовый метод в статистическом изучении основных фондов

     Где Mo – мода;

     x_Mo – нижняя граница модального интервала;

       i_Mo – величина модального интервала;

     f_Mo – частота модального интервала;

     f_{Mo – 1} – частота интервала, предшествующего модальному;

     f_{Mo + 1} – частота интервала, следующего за модальным.

     В полученном ряду распределения первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число организаций – 9 имеют объем выпуска продукции в интервале  49,32-53,28 млн. рублей, который и является модальным. Тогда в формуле моды примет вид:

     Mo = 40,32+12,96*((9-8)/((9-8)+(9-6))) = 43,56

     Таким образом, мода для полученного ряда распределения равна 43,56 млн. рублей.

     Медианой  называется вариант, расположенный  в середине упорядоченного вариационного  ряда, делящий его на две равные части.

     Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле

     Ме = х _Ме + i _Me ( 0,5 ∑ f – S_{Me – 1} / f _Me)

     Где Ме – медиана;

     х _Ме - нижняя граница медианного интервала;

     i _Me – величина медианного интервала;

     ∑ f – сумма частот ряда;

     S_{Me – 1} – сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

       f _Me - частота медианного интервала.

     В имеющемся ряду распределения определяем модальный интервал, в котором  находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленного итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (30/2 = 15).

     Медианным интервалом будет являться третий интервал. Сумма накопленных частот в нем  равна 21 (сумма накопленных частот второго интервала 12, т.е. меньше 15).

     Тогда формула медианов примет вид:

     Ме = 40,32+12,96 * ((0,5*30-12) / (9))  = 44,64 

     Таким образом, медиана для полученного  ряда распределения равна 44,64 млн. рублей. 

     Средняя является обобщающей характеристикой  совокупности единиц по качественно  однородному признаку.

     В статистике применяются различные виды средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурные средние – мода, медиана. Средние, кроме моды и медианы, исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.  Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя.

     Если  данные представлены в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых одинаковое значение признаков объеденены в группу, имеющие различные число единиц называемые частотой или весом применяется среднее арифметическое взвешивание, имеющее следующую формулу:

     x = ∑xf / ∑f

     где, х – значение признака,

     f – его частота.

     Для расчета средней из интервального  ряда распределения необходимо выразить варианты одним (дискретным)  числом, т.е. от интервального перейти к  дискретному ряду распределения. В  качестве значений признаков в группах принимаются простые средние арифметические из верхнего и нижнего значения интервала.

     Тогда, х₁ = (14,4+27,36)/2 = 20,88

     х₂ = (27,36+40,32)/2 = 33,84

     х₃ = (49,32+53,28)/2=46,80

     х₄ = (53,28-66,24)/2=59,76

     х₅ = (66,24-79,2)/2=72,72

     В результате образуется следующий дискретный ряд:

     Таблица 3

 

     Средний объем выпуска продукции на одну организацию будет определяться по формуле средней арифметической взвешиваемой.

х = (20,88*4+33,84*8+46,8*9+59,76*6+72,72*3) / 30 =  45,072

     Таким образом, средняя арифметическая для  имеющегося ряда распределения равна 45,072 млн. рублей.

     Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты усредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в дух совокупностях может быть одинаково, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет весьма важное значение для характеристика надежности средней величины.

     Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем  больше они отличаются от своей средней, и наоборот – тем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

     Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака от средней  исчисляются основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

     Дисперсия (δ) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

     В зависимости от исходных данных дисперсия  вычисляется по формуле средней  арифметической простой или взвешенной:

     δ² = (∑(х-х)²) / n – невзвешенная (простая);

     δ² = (∑(х-х)²) f / ∑f – взвешенная.

     Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии  и равно

     δ² = (∑(х-х)²) / n – невзвешенное;

     δ² = (∑(х-х)²) f / ∑f   - взвешенное.

     В отличие от дисперсии среднее  квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях, тоннах, процентах и т.д.).

     Для сравнения размеров вариации различных  признаков, а также для сравнения  степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительных показатель вариации – коэффициент вариации (V), который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

     V = δ*100/x.

     По  величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем мене однородна совокупность по составу. 

     Данные  для расчета представлены в таблице.

     Таблица 4.

 

     Тогда, дисперсия равна 

     δ²= 6964,808/30 = 232,16

     Среднее квадратическое отклонение равно 

     δ = квадр.корень 232,16 = 15,237

     Коэффициент вариации равен

     V = 15,237 / 5*30 = 91,422

     Таким образом, среднее квадратическое отклонение для имеющегося ряда распределения  равно 15,237 млн. рублей, коэффициент  вариации равен 91,422 %. 

     Для того, чтобы высчитать среднюю арифметическую по исходным данным (таблица 1) используем формулу средней арифметической:

     x = ∑x / n

     где, х – значение признака, n – число единиц признака.

Тогда, средняя арифметическая простая  по исходным данным равна

1320,54/30 = 44,018 млн. рублей.

      Ее  величина меньше, чем величина средней  арифметической взвешенной для ряда распределения (45,072) на 1,054 млн. рублей.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание №3

 

     Целью выборочного наблюдения является определение  характеристик генеральной совокупности – генеральной средней (х) и генеральной доли (р). Характеристики выборочной совокупности – выборочная средняя (х) и выборочная доля (ώ) отличаются от генеральных характеристик генеральной совокупности необходимо вычислять ошибку выборки или ошибку репрезентативности, которая определяется по формулам, разработанным в теории вероятностей для каждого вида выборки и способа отбора.

     Δ х = t

     Δ ώ = t

      Для определения среднего объема выпуска  продукции в генеральной совокупности была произведена 20% безповторная выборка, в которую попало 30 организаций. В результате обследования установлено, что средний объем выпуска продукции 45,072 млн. рублей, при дисперсии 232,16. Количество организаций с выпуском продукции более 66,24 млн. рублей в выборке составило 3.

      По  заданию необходимо с вероятностью 0,683 определить:

А) ошибку выборки среднего выпуска продукции  и границы, в которых будет  находится средний выпуск продукции  в генеральной совокупности.